Tema 50
Risc, inflació i impostos en les decisions d'inversió. Models de programació.
Introducció
L’anàlisi d’inversions presentada en el Tema 49 assumeix escenaris idealitzats: fluxos certs, absència d’inflació, neutralitat fiscal. La realitat contrasta: les variables són incertes, els preus canvien i els impostos erosionen els rendiments. Incorporar rigorosament risc, inflació i fiscalitat és indispensable per a qualsevol avaluació professional.
La recent experiència econòmica ho il·lustra bé: la inflació espanyola va passar del 0,5 % (2020) al 10,8 % (juliol 2022), desestabilitzant desenes de plans d’inversió empresarials; la reforma fiscal de 2022 (tipus mínim 15 % Pilar 2 OCDE) afecta les decisions de les multinacionals; la volatilitat dels mercats de matèries primeres afig una capa de risc pràctic.
El tema s’estructura en 5 blocs: (1) incertesa i risc en inversions; (2) prima de risc i CAPM; (3) inflació i VAN real vs. nominal; (4) fiscalitat i escut fiscal; (5) models de programació d’inversions.
1. Incertesa i risc en l'anàlisi de les inversions
1.1. Knight (1921): risc vs. incertesa
Com ja es va exposar en el Tema 57, Frank Knight (Risk, Uncertainty and Profit, 1921) va distingir:
• Risc: probabilitats conegudes dels estats de la naturalesa (llançar un dau).
• Incertesa: probabilitats desconegudes (xoc geopolític).
En la pràctica empresarial, la majoria de decisions es mouen en una zona intermèdia on s’estimen probabilitats subjectives.
1.2. Enfocaments per abordar el risc
La literatura financera distingix cinc enfocaments metodològics per a incorporar el risc a l’anàlisi d’inversions. Cadascun actua sobre una part diferent del càlcul del VAN i té avantatges i inconvenients complementaris.
a) Ajust dels fluxos de caixa (certainty equivalents): transformar els fluxos esperats en els seus equivalents certs multiplicant-los per un coeficient de certesa α ∈ [0,1]. Hirshleifer (1964) i la teoria de la utilitat esperada en són la base teòrica. Avantatge: separa la preferència temporal del risc. Limitació: estimar α és subjectiu.
b) Ajust del tipus de descompte (RADR —Risk-Adjusted Discount Rate): afegir una prima de risc p al tipus lliure de risc: k = r_f + p. És el mètode més estés en la pràctica empresarial i el que connecta amb el CAPM (§2). Limitació: suposa que el risc creix proporcionalment amb el temps, cosa que no sempre és certa.
c) Mètodes probabilístics: arbre de decisió (per a decisions seqüencials, Tema 57) i simulació Monte Carlo (milers d’escenaris aleatoris que generen la distribució del VAN).
d) Anàlisi de sensibilitat: variar un paràmetre clau (preu, costos, k) i mesurar l’impacte sobre el VAN. Identifica les variables crítiques del model. Limitació: no informa de la probabilitat associada.
e) Anàlisi d’escenaris: calcular el VAN en tres hipòtesis estructurades (optimista / realista / pessimista). Permet visualitzar el rang de resultats plausibles.
Gestió del risc en inversions
Els cinc enfocaments comparats
| Enfocament | Mecanisme | Quan usar-lo | Limitació principal |
|---|---|---|---|
| a) Equivalents certs | Ajusta els FC amb un coef. α ∈ [0,1] | Teoria avançada; quan el risc varia per període | α és subjectiu, difícil d’estimar |
| b) Tipus ajustat (RADR) | k = r_f + prima de risc (CAPM) | Pràctica empresarial habitual; projectes semblants | Risc suposat proporcional al temps |
| c) Monte Carlo | Simula milers d’escenaris aleatoris | Projectes complexos amb moltes variables incertes | Requerix definir distribucions de probabilitat |
| d) Sensibilitat | Varia una variable i mesura l’impacte en el VAN | Identificar les variables crítiques del model | No informa de probabilitats |
| e) Escenaris | VAN en 3 hipòtesis: òptim/realista/pessimista | Comunicació a directius i finançadors | Escenaris discrets, no arrepleguen tota la distribució |
1.3. Mesures de risc
Mesures estadístiques habituals:
• Variància: σ² = E[(X - μ)²].
• Desviació típica: σ, risc absolut.
• Coeficient de variació: CV = σ/μ, risc per unitat de rendiment. Comparable entre projectes d’escala diferent.
• VaR (Value at Risk): màxima pèrdua amb un nivell de confiança.
• CVaR o Expected Shortfall: pèrdua esperada en la cua distribucional.
• Beta (β): risc sistemàtic del CAPM.
Mesures estadístiques del risc
Les sis mètriques estàndard
| Mesura | Fórmula | Interpretació |
|---|---|---|
| Variància (σ²) | E[(X − μ)²] | Dispersió al quadrat; unitats incòmodes |
| Desviació típica (σ) | √σ² | Risc absolut, mateixes unitats que X |
| Coef. de variació (CV) | σ / μ | Risc per unitat de rendiment; comparable entre escales |
| VaR | inf {x : P(X ≤ x) ≥ α} | Pèrdua màxima amb confiança 1 − α |
| CVaR (Expected Shortfall) | E[X | X ≤ VaR] | Pèrdua esperada a la cua; capta cues grosses |
| Beta (β) | Cov(Rᵢ, R_m) / Var(R_m) | Risc sistemàtic; es compensa segons el CAPM |
2. Prima de risc i CAPM
2.1. La prima de risc
La prima de risc (risk premium) és la rendibilitat extra que l’inversor exigeix per assumir risc respecte al d’un actiu lliure de risc. El tipus de descompte ajustat al risc:
k = r_f + prima = rendiment lliure de risc + compensació del risc assumit.
2.2. Model CAPM (Sharpe 1964, Lintner 1965, Mossin 1966)
El Capital Asset Pricing Model, un dels pilars de les finances modernes, formalitza la relació entre risc i rendiment esperat:
CAPM · Sharpe 1964
Línia del Mercat de Valors (SML)
2.3. Interpretació del beta (β)
El beta (β) mesura la sensibilitat del rendiment de l’actiu i respecte al del mercat:
β = Cov(Rᵢ, R_m) / Var(R_m).
• β = 1: l’actiu es mou com el mercat.
• β major que 1: més volàtil que el mercat (aggressive stock).
• β menor que 1: menys volàtil (defensiu; utilities, consum bàsic).
• β menor que 0: covariància negativa (rar, or com a valor refugi).
Per a Espanya, el risk-free rate s’aproxima al bo del Tresor a 10 anys (~3,3 % en 2024); la prima de risc històrica de l’IBEX-35 se situa en el 5-7 %.
Empreses de l'IBEX-35
Beta d'empreses de l'IBEX-35 (estimacions aproximades, 5 anys)
2.4. Crítiques i extensions
El CAPM ha rebut crítiques metodològiques profundes. Roll (1977) va argumentar que el CAPM és, en principi, irrefutable perquè la cartera de mercat veritable (tots els actius del món) és inobservable. En la pràctica s’usa un proxy (IBEX-35, S&P 500), la qual cosa introduïx error de mesura. Les hipòtesis restrictives —mercats perfectes, expectatives homogènies, un sol període, prima de mercat constant— tampoc no es verifiquen en la realitat. L’evidència empírica ha documentat una sèrie d’«anomalies» que el CAPM no explica: l’efecte grandària (les empreses menudes generen rendibilitats superiors a les previstes per la β), l’efecte valor (les empreses amb ràtio preu/valor comptable baix superen les de ràtio alt), l’efecte momentum (les accions amb bon comportament recent tendixen a continuar fent-ho) i l’efecte rendibilitat operativa.
Les extensions més influents: l’APT (Ross, 1976) proposa múltiples factors de risc sistemàtic (macroeconòmics: producció industrial, inflació, diferencial de tipus, spread de crèdit) en lloc d’un de sol. El model Fama-French 3-factor (1992) afig els factors de grandària (SMB: small minus big) i valor (HML: high minus low, ràtio B/M) al factor de mercat; el Fama-French 5-factor (2015) incorpora a més la rendibilitat operativa (RMW) i la inversió (CMA). Empíricament, el model de 5 factors explica millor la secció creuada de rendibilitats d’actius que el CAPM original. Eugene Fama (Nobel 2013, conjuntament amb Hansen i Shiller) ha dedicat dècades a contrastar si els mercats financers són eficients en la incorporació d’informació; els seus resultats suggerixen que l’eficiència és raonablement sòlida a llarg termini, però que les anomalies documentades obrin la porta a factors de risc no arreplegats per la beta única. El debat continua obert: per a la pràctica empresarial, el CAPM amb β sectorial o el model de cinc factors de Fama-French són les eines estàndard d’estimació del cost del capital propi (Ke) —vegeu el Tema 53.
3. Inflació en les decisions d'inversió
3.1. Impacte de la inflació
La inflació (π) erosiona el poder adquisitiu de fluxos futurs. Per a un rigor adequat, cal distingir:
• Fluxos nominals: expressats en euros corrents.
• Fluxos reals: expressats en euros de poder adquisitiu constant.
• Tipus nominal: mesurat sobre fluxos nominals.
• Tipus real: corregit per inflació.
Relació fonamental (equació de Fisher, 1930):
3.2. VAN en un context inflacionari
Dues aproximacions coherents —la clau és no barrejar-les mai dins del mateix càlcul:
a) Mètode nominal: projectar fluxos nominals (incorporant la inflació esperada en cada partida) i descomptar amb el tipus nominal k_nom. És el més freqüent en la pràctica empresarial espanyola.
b) Mètode real: projectar fluxos en euros constants (a preus de l’any 0, sense incorporar inflació) i descomptar amb el tipus real k_real = (1+k_nom)/(1+π) - 1. L’aproximació lineal k_real ≈ k_nom − π només és vàlida per a valors baixos de les dues taxes (error tolerable si π és menor que 5 %).
Errors freqüents als supòsits d’oposició: (i) projectar fluxos nominals i descomptar amb k_real —sobrevalora el VAN—; (ii) projectar fluxos reals amb k_nom —infravalora el VAN—; (iii) aplicar la mateixa taxa d’inflació a costos i preus quan en la pràctica difereixen (per exemple, energia +20 % vs. inflació general 6 %).
Doble carril nominal · real
VAN nominal vs VAN real: les dues vies coherents
Inflació i VAN
Mètode nominal vs. mètode real: dues vies correctes que donen el mateix resultat
| Dimensió | Mètode nominal | Mètode real |
|---|---|---|
| Fluxos de caixa | Expressats en euros corrents (inclouen inflació) | Expressats en euros constants (any base) |
| Tipus de descompte | k_nom = (1 + k_real)(1 + π) − 1 | k_real = (1 + k_nom)/(1 + π) − 1 |
| Resultat VAN | Idèntic si s'aplica consistentment | Idèntic si s'aplica consistentment |
| Ús recomanat | Pràctica empresarial habitual (Espanya) | Projectes a llarg termini amb preus estables |
| Error més freqüent | Oblidar que l'amortització no s'actualitza (efecte fiscal) | Usar l’aprox. lineal (k_real ≈ k_nom − π) amb inflació alta |
3.3. Casos especials: la inflació no uniforme
En la pràctica, les despeses (p. ex., energia, salaris) i els preus (eixida) poden seguir diferents ritmes d’inflació. Cal projectar-los independentment. Exemple: pla energètic empresarial en un entorn amb gas +20 %/any i electricitat +8 %/any (cas típic 2022).
4. Fiscalitat i decisions d'inversió
4.1. Impost de Societats (IS)
A Espanya, l’Impost de Societats (Llei 27/2014) grava el benefici empresarial a un tipus general del 25 %, amb règims especials: petites entitats (23 %), noves empreses (15 % els dos primers exercicis amb beneficis), entitats sense finalitat de lucre.
La Directiva UE 2022/2523 (Pilar 2 OCDE BEPS 2.0) estableix un tipus mínim global del 15 % per a empreses amb ingressos majors que 750 M€, vigent des de gener 2024.
4.2. Fluxos de caixa després d'impostos
Per calcular correctament el VAN, cal utilitzar fluxos després d’impostos:
FCnet = (Ingressos - Despeses - Amortització) · (1 - t) + Amortització
On t és el tipus impositiu. Observació clau: l’amortització és una despesa deduïble fiscalment però no genera eixida de caixa, per això s’ha de sumar de nou (és l’anomenat escut fiscal de l’amortització).
4.3. Escut fiscal del deute (Modigliani-Miller, 1963)
Els interessos dels préstecs són deduïbles de la base imposable de l’Impost de Societats (art. 15 de la Llei 27/2014), cosa que genera un escut fiscal del deute que reduïx el cost efectiu de l’endeutament. Si l’empresa paga un tipus d’interès nominal r sobre un deute D, l’estalvi fiscal anual és r · D · t, on t és el tipus impositiu de l’IS.
Modigliani i Miller (1963), en corregir la seua proposició del 1958 incorporant este efecte, van demostrar que el valor present de l’escut fiscal (si el deute és permanent) equival a t · D. Una empresa amb 10 M€ de deute perpetu i un tipus d’IS del 25 % té un escut de 2,5 M€. És la causa que el deute siga —fins a cert nivell— preferit a l’equity des del punt de vista fiscal.
Convé distingir els dos escuts fiscals presents a les inversions: (1) escut de l’amortització: Am · t (reduïx el FC net segons §4.2, independent del finançament); (2) escut del deute: interessos · t (depén de l’estructura de capital). El primer és un flux de caixa; el segon, com va assenyalar Myers (1977), modifica el cost del capital (k) i, amb ell, el descompte del VAN. La separació entre els dos escuts —i la seua imputació correcta en els models VAN vs. APV— és una de les trampes més freqüents als supòsits avançats.
4.4. Incentius fiscals a la inversió
Espanya preveu un catàleg ampli d’incentius fiscals que reduïxen el cost efectiu de la inversió o eleven la rendibilitat neta de determinats projectes. Des de la perspectiva de l’anàlisi d’inversions (Tema 49), estos incentius augmenten els fluxos de caixa nets després d’impostos (FC_net) o reduïxen el desemborsament inicial efectiu, i eleven el VAN.
Deducció per R+D+i (art. 35 LIS): 25 % de la despesa en R+D de l’exercici sobre la mitjana dels dos últims anys; 42 % si supera eixa mitjana. Per a innovació tecnològica: 12 %. Límit: 25 % de la quota íntegra (ampliable al 50 % si les despeses superen el 10 % de la quota). Aplicació habitual en farmacèutiques, enginyeria, tecnologia i automoció.
Deducció per inversions en producció cinematogràfica i audiovisual: 30-45 % de les despeses de rodatge a Espanya (art. 36 LIS), amb llindars mínims d’inversió. Sector d’alt impacte a la Comunitat Valenciana i a Madrid.
Zones especials: Zona Especial Canària (ZEC): tipus d’IS del 4 % per a entitats amb activitat econòmica real i creació d’ocupació (mínim 5 llocs a Gran Canària o Tenerife, 3 a la resta). Ceuta i Melilla: bonificació del 50 % sobre la quota de l’IS. Estos avantatges alteren radicalment el WACC de projectes localitzats en estes zones i són un factor determinant en decisions de localització d’inversió empresarial.
Llibertat d’amortització (art. 12.3 LIS): permet imputar tot el cost d’un actiu l’any de l’adquisició, i genera un escut fiscal immediat equivalent a una deducció sobre la quota. Disponible per a: R+D+i (àmplia gamma d’actius), inversions de pimes que generen ocupació neta, actius per a autoconsum elèctric i noves infraestructures energètiques (RDL 4/2023). Efecte: avança l’escut fiscal i augmenta el VAN del projecte en valorar els diners en el temps.
Ajudes Next Generation EU (PRTR): el Pla de Recuperació, Transformació i Resiliència distribuïx 163.000 M€ entre el 2021 i el 2026. Els fons de la Component 7 (transició energètica), C10 (indústria verda) i C15 (competitivitat i digitalització de pimes) són subvencions directes o préstecs a tipus zero que, des de la perspectiva de l’anàlisi d’inversions, reduïxen el desemborsament inicial A o afigen fluxos de caixa sense impost a certs projectes. La Directiva 2022/2523 (Pilar 2 OCDE, tipus mínim 15 %) limita la capacitat de les multinacionals de traslladar beneficis a jurisdiccions de baixa fiscalitat, i reduïx parcialment el valor de l’arbitratge fiscal entre països.
Catàleg d'incentius fiscals
Com afecta cada figura el VAN
| Incentiu | Base legal | Efecte en el VAN |
|---|---|---|
| Deducció R+D+i | Art. 35 LIS | 25 % de la despesa (42 % si > mitjana); ↑ FC net |
| Deducció audiovisual | Art. 36 LIS | 30-45 % de la despesa de rodatge a Espanya; ↑ FC net |
| Zona Especial Canària (ZEC) | Llei 19/1994 | Tipus IS 4 % (vs 25 %); reduïx el WACC |
| Llibertat d'amortització | Art. 12.3 LIS | Avança l’escut fiscal; ↑ VAN per timing |
| Ajudes Next Generation EU | PRTR 2021-2026 | Subvenció o préstec al 0 %; ↓ A efectiu |
5. Models de programació d'inversions
5.1. Selecció amb restriccions pressupostàries
En la realitat, l’empresa no pot acceptar tots els projectes amb VAN major que 0: està subjecta a restriccions (capital disponible, capacitat directiva, riscos agregats). La selecció òptima exigeix programació matemàtica.
5.2. Programació lineal
Quan l’empresa disposa d’un pressupost de capital limitat (capital rationing), no pot acceptar tots els projectes amb VAN positiu i ha d’optimitzar la selecció. La formulació matemàtica és un problema de programació lineal-entera:
Maximitzar Σ VANi · xi, subjecte a: Σ Ai · xi ≤ Pressupost disponible, amb xi ∈ (0 o 1) (binari, si els projectes són indivisibles) o xi ∈ [0,1] (fraccional, en programació lineal pura).
L’algorisme símplex (Dantzig, 1947) resol el problema relaxat (xi fraccional); per a la versió binària s’usen mètodes de ramificació i acotament (branch and bound). Programari comercial accessible: Excel Solver, Python (PuLP, SciPy), Gurobi, CPLEX.
En la pràctica d’oposicions, l’aproximació senzilla és ordenar els projectes per Índex de Rendibilitat (IR = VA fluxos / A) i acceptar els de major IR fins a esgotar el pressupost. Genera la solució òptima quan els projectes són divisibles; en cas contrari, només és una heurística.
Selecció òptima de carteres
Procés de programació d'inversions sota restricció pressupostària
5.3. Altres mètodes d'optimització
Programació dinàmica (Bellman, 1957; principi d’optimalitat): adequada per a decisions seqüencials interrelacionades en múltiples períodes. Si l’empresa ha de decidir inversions any a any amb informació que va arribant, l’arbre de decisió i la programació dinàmica són els marcs correctes.
Algorismes genètics (Holland, 1975): metaheurístiques inspirades en l’evolució natural. Útils quan la funció objectiu no és convexa o té molts mínims locals. Aplicacions en carteres d’inversió grans (desenes de projectes).
Simulació Monte Carlo: genera milers d’escenaris mostrejant aleatòriament les distribucions d’incertesa dels paràmetres del projecte. Produïx la distribució empírica del VAN (no només un punt), la qual cosa permet calcular la probabilitat de VAN major que 0 i el Value at Risk del projecte.
Rationing amb IR (aproximació per al supòsit): ordenar els projectes per IR i acceptar-los en orde fins a esgotar el pressupost. Solució exacta si els projectes són divisibles; aproximació heurística si són indivisibles.
Mètodes d'optimització
Quan usar cada tècnica
| Mètode | Pioner | Quan aplicar-lo |
|---|---|---|
| Programació lineal (PL) | Dantzig 1947 | Capital rationing amb projectes divisibles o binaris |
| Programació dinàmica | Bellman 1957 | Decisions seqüencials multiperíode (arbre) |
| Algorismes genètics | Holland 1975 | Funcions no convexes amb molts òptims locals |
| Simulació Monte Carlo | Metropolis-Ulam | Distribució empírica del VAN sota incertesa |
5.4. Real options i flexibilitat
Les opcions reals (Myers 1977, Trigeorgis 1996) valoren la flexibilitat gerencial: opció d’expandir, d’ajornar, d’abandonar, d’alterar. S’apliquen eines financeres com el model Black-Scholes o arbres binomials. Aplicació habitual: R+D farmacèutic, mineria, petroli, start-ups.
si va bé, invertir més
esperar informació
eixir si va malament
reduir escala
canviar d’ús
Conclusió
L’anàlisi d’inversions presentada al Tema 49 —VAN, TIR, IR— és una armadura teòrica poderosa però incompleta si no incorpora les tres pertorbacions fonamentals de la realitat: risc, inflació i impostos. La tesi central d’este tema és que l’avaluació rigorosa d’un projecte exigix tractar-los de forma explícita i metodològicament coherent, sense barrejar convencions (mai fluxos nominals amb tipus real, ni fluxos reals amb tipus nominal) i distingint amb precisió els dos escuts fiscals rellevants (amortització i deute).
L’itinerari del tema ha cobert quatre grans blocs. Primer, el risc: la distinció seminal de Frank Knight (1921) entre risc quantificable i incertesa radical, i els cinc enfocaments metodològics per a incorporar-lo (equivalents certs, RADR, Monte Carlo, sensibilitat, escenaris). Segon, el CAPM de Sharpe (Nobel 1990) i Lintner (1965): la prima de mercat, la beta com a mesura de risc sistemàtic, la SML i les seues extensions (APT de Ross 1976; models de tres i cinc factors de Fama-French 1992 i 2015). Tercer, la inflació: l’equació de Fisher i l’equivalència entre el mètode nominal i el mètode real. Quart, la fiscalitat: l’Impost de Societats (Llei 27/2014, tipus general del 25 %; tipus mínim global del 15 % segons la Directiva UE 2022/2523, Pilar 2 OCDE), l’escut fiscal de l’amortització i el del deute (Modigliani-Miller, 1963), i els incentius a la inversió (R+D+i, Canàries, llibertat d’amortització). Quint, els models de programació (lineal, dinàmica, Monte Carlo, opcions reals).
Els lligams amb el temari són densos: el CAPM (§2) és l’eina amb què s’estima Ke i el WACC del Tema 53; l’escut fiscal del deute anticipa la Proposició II de Modigliani-Miller del Tema 54; l’equació de Fisher connecta amb la macro del Tema 30 (inflació i tipus d’interès). Els models de programació lineal enllacen amb els fonaments de programació del Tema 49 (IR i capital rationing). Les opcions reals connecten amb la presa de decisions sota incertesa del Tema 57.
La idea clau: el tipus de descompte del VAN no és una dada neutra, sinó una síntesi del risc (β × prima de mercat), la inflació (equació de Fisher) i la fiscalitat (escut fiscal del deute). Subestimar-lo porta a aprovar projectes que destruïxen valor; sobreestimar-lo porta a descartar oportunitats rendibles. En el context espanyol de tipus elevats —el BCE va pujar del 0 % al 4,5 % entre el 2022 i el 2023, i es va estabilitzar en el 3,25 % el 2024—, l’elecció del tipus de descompte correcte ha adquirit una importància pràctica sense precedents en l’última dècada.
- KNIGHT, F.H. (1921): Risk, Uncertainty and Profit, Houghton Mifflin.
- FISHER, I. (1930): The Theory of Interest, Macmillan.
- MARKOWITZ, H. (1952): «Portfolio Selection», J. of Finance, 7(1).
- SHARPE, W.F. (1964): «Capital Asset Prices», J. of Finance, 19(3).
- LINTNER, J. (1965): «The Valuation of Risk Assets», REStat, 47.
- MODIGLIANI, F. i MILLER, M.H. (1963): «Corporate Income Taxes and the Cost of Capital», AER, 53.
- ROSS, S.A. (1976): «The Arbitrage Theory of Capital Asset Pricing», JET, 13.
- MYERS, S.C. (1977): «Determinants of Corporate Borrowing», JFE, 5.
- FAMA, E.F. i FRENCH, K.R. (1992): «The Cross-Section of Expected Stock Returns», J. of Finance, 47.
- TRIGEORGIS, L. (1996): Real Options, MIT Press.
- Llei 27/2014, de l'Impost sobre Societats.
- Directiva (UE) 2022/2523 (Pilar 2 OCDE, tipo mínimo global 15 %).
Síntesi del tema
El one-pager de síntesi del tema, per a un repàs ràpid.
Eina inclosa en la subscripció.
Subscriu-te · 25 €/mes