Tema 50
Risc, inflació i impostos en les decisions d'inversió. Models de programació.
Introducció
L’anàlisi d’inversions presentada en el Tema 49 assumeix escenaris idealitzats: fluxos certs, absència d’inflació, neutralitat fiscal. La realitat contrasta: les variables són incertes, els preus canvien i els impostos erosionen els rendiments. Incorporar rigorosament risc, inflació i fiscalitat és indispensable per a qualsevol avaluació professional.
La recent experiència econòmica ho il·lustra bé: la inflació espanyola va passar del 0,5 % (2020) al 10,8 % (juliol 2022), desestabilitzant desenes de plans d’inversió empresarials; la reforma fiscal de 2022 (tipus mínim 15 % Pilar 2 OCDE) afecta les decisions de les multinacionals; la volatilitat dels mercats de matèries primeres afig una capa de risc pràctic.
El tema s’estructura en 5 blocs: (1) incertesa i risc en inversions; (2) prima de risc i CAPM; (3) inflació i VAN real vs. nominal; (4) fiscalitat i escut fiscal; (5) models de programació d’inversions.
1. Incertesa i risc en l'anàlisi d'inversions
1.1. Knight (1921): risc vs. incertesa
Com ja es va exposar en el Tema 57, Frank Knight (Risk, Uncertainty and Profit, 1921) va distingir:
• Risc: probabilitats conegudes dels estats de la naturalesa (llançar un dau).
• Incertesa: probabilitats desconegudes (xoc geopolític).
En la pràctica empresarial, la majoria de decisions es mouen en una zona intermèdia on s’estimen probabilitats subjectives.
1.2. Enfocaments per abordar el risc
a) Ajust dels fluxos de caixa: calcular fluxos equivalents certs (Hirshleifer 1964) aplicant un coeficient de certesa α ∈ [0,1].
b) Ajust del tipus de descompte: afegir una prima de risc al tipus lliure de risc. És el més utilitzat.
c) Mètodes probabilístics: arbre de decisió (Tema 57), simulació Monte Carlo.
d) Anàlisi de sensibilitat: variar un paràmetre i mesurar l’impacte sobre VAN.
e) Anàlisi d’escenaris: optimista / realista / pessimista.
1.3. Mesures de risc
Mesures estadístiques habituals:
• Variància: σ² = E[(X - μ)²].
• Desviació típica: σ, risc absolut.
• Coeficient de variació: CV = σ/μ, risc per unitat de rendiment. Comparable entre projectes d’escala diferent.
• VaR (Value at Risk): màxima pèrdua amb un nivell de confiança.
• CVaR o Expected Shortfall: pèrdua esperada en la cua distribucional.
• Beta (β): risc sistemàtic del CAPM.
2. Prima de risc i CAPM
2.1. La prima de risc
La prima de risc (risk premium) és la rendibilitat extra que l’inversor exigeix per assumir risc respecte al d’un actiu lliure de risc. El tipus de descompte ajustat al risc:
k = r_f + prima = rendiment lliure de risc + compensació del risc assumit.
2.2. Model CAPM (Sharpe 1964, Lintner 1965, Mossin 1966)
El Capital Asset Pricing Model, un dels pilars de les finances modernes, formalitza la relació entre risc i rendiment esperat:
📊 Diagrama: Línia del Mercat de Valors (SML)
2.3. Interpretació del beta (β)
El beta (β) mesura la sensibilitat del rendiment de l’actiu i respecte al del mercat:
β = Cov(Rᵢ, R_m) / Var(R_m).
• β = 1: l’actiu es mou com el mercat.
• β major que 1: més volàtil que el mercat (aggressive stock).
• β menor que 1: menys volàtil (defensiu; utilities, consum bàsic).
• β menor que 0: covariància negativa (rar, or com a valor refugi).
Per a Espanya, el risk-free rate s’aproxima al bo del Tresor a 10 anys (~3,3 % en 2024); la prima de risc històrica de l’IBEX-35 se situa en el 5-7 %.
2.4. Crítiques i extensions
El CAPM ha rebut crítiques per les seues hipòtesis restrictives (mercats eficients, expectatives homogènies, un sol període, prima constant). Extensions:
• APT (Ross, 1976): múltiples factors, no només de mercat.
• Fama-French 3-factor (1992): grandària, B/M, mercat.
• Fama-French 5-factor (2015): afig rendibilitat i inversió.
3. Inflació en les decisions d'inversió
3.1. Impacte de la inflació
La inflació (π) erosiona el poder adquisitiu de fluxos futurs. Per a un rigor adequat, cal distingir:
• Fluxos nominals: expressats en euros corrents.
• Fluxos reals: expressats en euros de poder adquisitiu constant.
• Tipus nominal: mesurat sobre fluxos nominals.
• Tipus real: corregit per inflació.
Relació fonamental (equació de Fisher, 1930):
3.2. VAN en un context inflacionari
Dues aproximacions coherents (no barrejar-les):
a) Mètode nominal: projectar fluxos nominals (incorporant inflació) i descomptar amb k_nom.
b) Mètode real: projectar fluxos en euros constants (sense inflació) i descomptar amb k_real = (1+k_nom)/(1+π) - 1.
Errors comuns: (i) projectar fluxos nominals i descomptar amb k_real, (ii) no tenir en compte que la inflació pot afectar de forma diferent despeses i preus.
3.3. Casos especials: la inflació no uniforme
En la pràctica, les despeses (p. ex., energia, salaris) i els preus (eixida) poden seguir diferents ritmes d’inflació. Cal projectar-los independentment. Exemple: pla energètic empresarial en un entorn amb gas +20 %/any i electricitat +8 %/any (cas típic 2022).
4. Fiscalitat i decisions d'inversió
4.1. Impost de Societats (IS)
A Espanya, l’Impost de Societats (Llei 27/2014) grava el benefici empresarial a un tipus general del 25 %, amb règims especials: petites entitats (23 %), noves empreses (15 % els dos primers exercicis amb beneficis), entitats sense finalitat de lucre.
La Directiva UE 2022/2523 (Pilar 2 OCDE BEPS 2.0) estableix un tipus mínim global del 15 % per a empreses amb ingressos majors que 750 M€, vigent des de gener 2024.
4.2. Fluxos de caixa després d'impostos
Per calcular correctament el VAN, cal utilitzar fluxos després d’impostos:
FCnet = (Ingressos - Despeses - Amortització) · (1 - t) + Amortització
On t és el tipus impositiu. Observació clau: l’amortització és una despesa deduïble fiscalment però no genera eixida de caixa, per això s’ha de sumar de nou (és l’anomenat escut fiscal de l’amortització).
4.3. Escut fiscal del deute (Modigliani-Miller, 1963)
Els interessos dels préstecs són deduïbles de l’IS, creant un escut fiscal: el cost efectiu del deute és r·(1-t), no r. Aquesta asimetria favorable al deute serà clau per entendre l’estructura òptima de capital (Tema 54). Valor present de l’escut fiscal: VP_escut = t · D (deute).
4.4. Incentius fiscals a la inversió
Espanya preveu nombrosos incentius:
• Deducció per R+D+i (art. 35 LIS): 25-42 % de la despesa en R+D.
• Deducció per inversions en producció cinematogràfica.
• Zones especials: ZEC (Canàries, IS 4 %), Ceuta-Melilla (bonificació 50 %).
• Llibertat d’amortització: per a R+D i per a PIMES que creen ocupació.
• Ajudes Next Gen EU: per a descarbonització, digitalització.
5. Models de programació d'inversions
5.1. Selecció amb restriccions pressupostàries
En la realitat, l’empresa no pot acceptar tots els projectes amb VAN major que 0: està subjecta a restriccions (capital disponible, capacitat directiva, riscos agregats). La selecció òptima exigeix programació matemàtica.
5.2. Programació lineal
Formulació típica: maximitzar Σ VANᵢ · xᵢ, subjecte a Σ Aᵢ · xᵢ ≤ Pressupost, amb xᵢ ∈ [0,1] (fracció del projecte) o xᵢ ∈ 1 (binari, programació entera).
L’algorisme símplex (Dantzig, 1947) resol aquest tipus de problemes. Programari comercial: Excel Solver, Gurobi, CPLEX, Python (PuLP, SciPy).
5.3. Altres mètodes d'optimització
• Programació dinàmica: decisions seqüencials interrelacionades (Bellman, 1957).
• Algorismes genètics: cerca heurística inspirada en evolució (Holland, 1975).
• Simulació Monte Carlo: milers d’iteracions aleatòries.
• Rationing amb IR: ordenar projectes per Índex de Rendibilitat i acceptar els de major IR fins a esgotar el pressupost (aproximació simple).
5.4. Real options i flexibilitat
Les opcions reals (Myers 1977, Trigeorgis 1996) valoren la flexibilitat gerencial: opció d’expandir, d’ajornar, d’abandonar, d’alterar. S’apliquen eines financeres com el model Black-Scholes o arbres binomials. Aplicació habitual: R+D farmacèutic, mineria, petroli, start-ups.
Conclusió
Incorporar risc, inflació i impostos a l’anàlisi d’inversions és indispensable per a una avaluació professional. La distinció de Knight (1921) entre risc i incertesa, la formulació del CAPM (Sharpe 1964), l’equació de Fisher (1930) i el tractament de l’escut fiscal completen el marc teòric rigorós que es pressuposa en les finances modernes.
Els models de programació d’inversions (lineal, entera, dinàmica, heurística, real options) permeten optimitzar carteres subjectes a restriccions realistes. Les eines digitals (Excel, Python, IA) han democratitzat l’ús d’aquests mètodes. El docent ha de transmetre que les decisions d’inversió en l’empresa moderna són una combinació d’anàlisi quantitativa, judici estratègic i sensibilitat al context (inflació, fiscalitat, regulació).
Bibliografía
- KNIGHT, F.H. (1921): Risk, Uncertainty and Profit, Houghton Mifflin.
- FISHER, I. (1930): The Theory of Interest, Macmillan.
- MARKOWITZ, H. (1952): «Portfolio Selection», J. of Finance, 7(1).
- SHARPE, W.F. (1964): «Capital Asset Prices», J. of Finance, 19(3).
- LINTNER, J. (1965): «The Valuation of Risk Assets», REStat, 47.
- MODIGLIANI, F. i MILLER, M.H. (1963): «Corporate Income Taxes and the Cost of Capital», AER, 53.
- ROSS, S.A. (1976): «The Arbitrage Theory of Capital Asset Pricing», JET, 13.
- MYERS, S.C. (1977): «Determinants of Corporate Borrowing», JFE, 5.
- FAMA, E.F. i FRENCH, K.R. (1992): «The Cross-Section of Expected Stock Returns», J. of Finance, 47.
- TRIGEORGIS, L. (1996): Real Options, MIT Press.
- Llei 27/2014, de l'Impost sobre Societats.
- Directiva (UE) 2022/2523 (Pilar 2 OCDE, tipus mínim global 15 %).