Tema 12
Funció de producció. Isoquantes i isocosts. Rendiments decreixents.
Introducció
La teoria de la producció estudia com les empreses combinen factors productius (treball, capital, terra) per a obtindre béns i serveis. Desenvolupada pels clàssics (Smith 1776, Ricardo 1817) i formalitzada pels neoclàssics (Clark 1899, Wicksell 1893), és la contrapartida objectiva de la teoria del consumidor.
La funció de producció Cobb-Douglas (1928) i les aportacions de Solow (1957, Nobel 1987) sobre la productivitat total dels factors han sigut centrals. En el segle XXI, Acemoglu i Restrepo (2018) l’han estés per a incorporar automatització i IA. La productivitat per hora treballada a Espanya (Eurostat 2024) se situa al voltant del 95 % de la mitjana UE-27, amb una bretxa persistent respecte a Alemanya, Països Baixos o França que motiva el debat sobre tamany empresarial i formació.
Aquest tema enllaça amb la teoria de costos (Tema 13), les estructures de mercat (Temes 14-16) i la distribució funcional de la renda (Tema 19). En clau macro, connecta amb el model de creixement de Solow (Tema 23) i amb la productivitat total dels factors com a variable explicativa del creixement potencial.
Cronologia
Fites de la teoria de la producció
1. Factors productius i funció de producció
1.1. Factors
Classes tradicionals: treball (L), capital (K), terra/recursos (T). Modernament s’afigen: capital humà (Becker 1964, Nobel 1992), tecnologia (A), capital natural (sostenibilitat), capital intangible (programari, marques, dades, organització; Corrado-Hulten-Sichel 2009).
L’INE incorpora des de 2014 la inversió en actius intangibles a la formació bruta de capital fix (norma SEC 2010). A Espanya representa ja el 30 % de la inversió empresarial, per davall del Regne Unit (45 %) o Suècia (40 %). La distinció conceptual entre capital físic i capital intangible té conseqüències per al mesurament de la productivitat total dels factors (PTF): infravalorar l’intangible porta a imputar al «residu» de Solow una fracció que en realitat correspon a inversió en dades, programari o organització. Haskel i Westlake (2017, Capitalism without Capital) documenten que les economies avançades porten dècades invertint més en intangibles que en actius físics, amb implicacions profundes per a la competència, la distribució i la política d’innovació.
1.2. Funció de producció
Relació tècnica màxima entre factors i producte: Q = f(K, L, …). Horitzó temporal:
• Curt termini: almenys un factor fix (K). Variacions només en L.
• Llarg termini: tots els factors variables.
• Molt llarg termini: la tecnologia també canvia (progrés tècnic).
Propietats tècniques exigides: continuïtat, no negativitat, monotonicitat (més factor implica major o igual producció), quasiconcavitat (isoquantes convexes). La noció de «frontera de producció» —distinta de la funció de producció potencial— introduïx l’eficiència tècnica com a grau d’acostament a eixa frontera. Les empreses per davall de la frontera produïxen menys del que permetria la seua dotació de factors, fenomen que Farrell (1957) va descompondre en ineficiència tècnica i ineficiència assignativa. L’estimació de funcions de producció estocàstica de frontera (SFA, Aigner, Lovell i Schmidt 1977) és hui una eina estàndard d’avaluació de productivitat empresarial en organismes com el Banc d’Espanya o el Banc d’Itàlia.
2. Producció a curt termini: llei de rendiments decreixents
2.1. Productivitat total, mitjana i marginal
• PT: Q total produïda.
• PMe (mitjana) igual a Q partit per L. Productivitat del treball.
• PMg (marginal) igual a ΔQ partit per ΔL. Producte de l’última unitat de L afegida.
Relacions: quan PMg supera a PMe, PMe creix; quan PMg és menor que PMe, PMe decreix; quan PMg iguala PMe, màxim de PMe. Aquesta relació geomètrica es trasllada idènticament a l’anàlisi de costos (CMg-CMe en Tema 13).
2.2. Llei de rendiments marginals decreixents
Formulada per Turgot (1767) i Ricardo (1817): afegint unitats d’un factor variable a un factor fix, a partir d’un punt, la productivitat marginal decreix. John Stuart Mill (1848) la va anomenar «la llei més important de l’economia política». La intuïció és directa: una collita (factor fix: la terra) amb més i més treballadors acaba sent menys productiva per treballador perquè la terra és la limitació estructural.
Etapes: (I) PMg creix; (II) PMg decreixent però PT creixent; (III) PMg negatiu, PT decreix. Sobre el gràfic PT/PMe/PMg, l’etapa I és la dels rendiments creixents per especialització i indivisibilitats, l’etapa II és la zona racional d’operació i l’etapa III és la zona de saturació, on mai no es produïx voluntàriament. El pas de I a II coincidix amb el màxim de PMg; el pas de II a III, amb el punt on PMg creua l’eix zero.
L’empresa racional produïx dins de l’etapa II. El pas de I a II marca l’esgotament de les indivisibilitats; el pas de II a III, la saturació física del factor fix. La relació geomètrica entre PT i PMg és la mateixa que entre CT i CMg: el CMg és la derivada del CT respecte de Q, exactament com PMg és la derivada de PT respecte de L. Aquesta simetria és la que connecta el Tema 12 amb la teoria de costos del Tema 13.
Productivitat total (PT), mitjana (PMe) i marginal (PMg): tres etapes
PMg talla PMe en el seu màxim (igual que CMg talla CMe en el seu mínim en costos).
3. Producció a llarg termini: isoquantes i isocosts
3.1. Isoquantes
Corba que arreplega combinacions (K, L) que generen la mateixa quantitat Q. Propietats: decreixents, convexes, no es tallen, més altes igual a major producció.
El pendent és la Relació Marginal de Substitució Tècnica (RMST): RMSTkl igual a PMgL partit per PMgK.
Casos límit: Leontief (proporcions fixes, isoquantes en L: una refineria necessita una proporció rígida de catalitzador i cru); lineal (substituts perfectes, isoquantes com a rectes). La convexitat de les isoquantes —el supòsit de RMST decreixent— reflectix que la substitució entre factors es torna més difícil a mesura que un factor es fa escàs dins de la combinació: és l’expressió microeconòmica de la quasiconcavitat de la funció de producció. Quan la funció de producció presenta isoquantes no convexes (regions no convexes), la solució òptima pot ser una solució de cantonada (ús exclusiu d’un factor), la qual cosa és rellevant per a entendre adopcions tecnològiques abruptes com la robotització industrial.
3.2. Isocosts
Recta de combinacions (K, L) amb el mateix cost total: CT = r·K + w·L, on r és el preu del capital i w el salari. Pendent: menys w partit per r.
Una baixada de tipus d’interés del BCE (r menor) abarateix el capital relatiu i fa girar l’isocost, induint substitució capital per treball. La política monetària expansiva 2015-2022 va afavorir eixe efecte en sectors intensius en capital. El cicle de pujades del BCE (del 0 al 4,5 % en 2022-2023) va generar l’efecte contrari: encariment del capital, reducció d’inversions en automatització i, en alguns sectors, retorn relatiu cap a un ús més intensiu de mà d’obra — observat en la desacceleració de la robotització industrial europea en 2023 (IFR, World Robotics 2023). Aquest mecanisme de substitució K-L via preu relatiu de factors és la microeconomia del debat macro sobre l’impacte del tipus d’interés en el capital instal·lat.
3.3. Equilibri del productor
L’empresa minimitza cost per a un Q donat (o maximitza Q per a un CT donat): tangència entre isoquanta i isocost. És el dual de la maximització d’utilitat del consumidor. La condició de tangència (PMgL / w = PMgK / r) és la condició d’eficiència productiva en el sentit de Pareto: no existix cap reassignació de factors que, amb el mateix pressupost, permeta augmentar la producció. En canvi, si PMgL / w és major que PMgK / r, l’empresa pot augmentar Q contractant més L i reduint K, mantenint el cost constant. Aquesta condició d’eficiència és, en agregat, un dels tres requisits de l’òptim de Pareto (eficiència en producció, Tema 17).
Isoquantes i isocost: òptim del productor
El productor minimitza cost on l’isocost és tangent a la isoquanta Q₂.
4. Funcions homogènies i rendiments a escala
4.1. Funció homogènia de grau n
Una funció f(K, L) és homogènia de grau n si f(λK, λL) igual a λⁿ per f(K, L). Mesura els rendiments a escala:
• n igual a 1: rendiments constants.
• n major que 1: rendiments creixents (economies d’escala).
• n menor que 1: rendiments decreixents (deseconomies d’escala).
Diferent de la llei de rendiments decreixents (que afecta a un factor fix a CT). Els rendiments creixents d’escala són la causa tècnica dels monopolis naturals i de la concentració empresarial.
Tres casos de rendiments a escala (en duplicar K i L)
4.2. Funció Cobb-Douglas (1928)
Publicada per Charles W. Cobb i Paul H. Douglas en 1928 ajustant dades de la indústria estatunidenca: Q = A · Kᵅ · Lᵝ.
• A: productivitat total dels factors (tecnologia).
• α, β: elasticitats parcials respecte K i L.
• α + β: rendiments a escala.
En competència perfecta, α i β són les participacions del capital i del treball en la renda nacional. Àmpliament usada en models de creixement (Solow 1956). A Espanya la participació del treball en el VAB ronda el 56 % (CNE 2024), per davall de França (60 %) i similar a la mitjana UE.
La funció Cobb-Douglas té propietats que la fan simultàniament atractiva i restrictiva. La seua principal limitació és imposar una elasticitat de substitució constant i igual a 1, la qual cosa implica que les participacions de capital i treball en el PIB són constants independentment dels preus relatius dels factors. Aquesta predicció era raonablement aproximada durant el període 1950-1980 a les economies avançades, però l’evidència acumulada des d’aleshores la contradiu: la quota salarial ha caigut ~8 punts als països de l’OCDE des de 1980 (Karabarbounis-Neiman 2014), la qual cosa és inconsistent amb una elasticitat de substitució igual a 1 quan el preu relatiu del capital ha baixat (abaratiment del capital per progrés tècnic). Això ha revifat l’interés per la funció CES (Arrow et al. 1961), que permet una σ distinta d’1: si σ major que 1 (capital i treball són substituts forts), una baixada del preu relatiu del capital augmenta la seua participació en l’ingrés, la qual cosa explica la caiguda del wage share. La implicació per a la política econòmica és important: si l’automatització i la digitalització reduïxen el preu del capital relatiu al treball amb una elasticitat de substitució major que 1, la desigualtat capital-treball augmentarà estructuralment llevat que els sistemes fiscals graven de manera diferenciada les rendes del capital — exactament la proposta de Piketty (2013) que connecta la microeconomia de la funció de producció amb la macroeconomia de la distribució funcional (Tema 19).
Formes funcionals
Cobb-Douglas, Leontief, lineal i CES: quatre elasticitats de substitució
| Funció | σ | Substitució K-L | Quota factorial |
|---|---|---|---|
| Cobb-Douglas | σ = 1 | unitària | constant (=α, β) |
| Leontief | σ = 0 | nul·la (proporcions fixes) | depén de la tecnologia |
| Lineal | σ = ∞ | perfecta | cantonada (un sol factor) |
| CES (Arrow et al. 1961) | σ general | variable segons σ | no constant si σ ≠ 1 |
5. Progrés tècnic i sendera d'expansió
5.1. Progrés tècnic
El progrés tècnic desplaça la funció de producció cap amunt: amb els mateixos factors, més Q. Classificació Hicks (1932):
• Neutre: no altera la proporció K/L.
• Intensiu en capital: augmenta PMgK relativa.
• Intensiu en treball: augmenta PMgL relativa.
Solow (1957): residu que explica el creixement no atribuïble a factors, conegut com PTF o «residu de Solow». A Espanya, la PTF a penes creix des de 2000 (Banc d’Espanya 2024), un dels principals colls d’ampolla del creixement potencial.
5.2. Sendera d'expansió i elasticitat de substitució
La sendera d’expansió uneix els òptims de mínim cost a mesura que creix el pressupost (o la producció). L’elasticitat de substitució (σ) mesura la facilitat per a substituir K per L mantenint Q. Amb una funció Cobb-Douglas i preus de factors fixos, la sendera d’expansió és una recta des de l’origen (proporció K/L constant). Amb una funció CES, la sendera es pot corbar si canviar el nivell d’output altera la proporció òptima de factors. En termes formals, σ és igual al percentatge de canvi en K/L partit pel percentatge de canvi en RMST.
• Cobb-Douglas: σ igual a 1.
• Leontief (proporcions fixes): σ igual a 0.
• Lineal (substituts perfectes): σ igual a infinit.
• CES (Arrow et al. 1961): forma general que aniua les anteriors. La CES va ser estimada per primera vegada per Arrow, Chenery, Minhas i Solow (1961) amb dades industrials internacionals, comprovant que σ varia significativament entre sectors: pròxim a 1 en manufactura lleugera, menor en sectors de procés continu amb proporcions tècniques rígides.
Sendera d’expansió en el pla (K, L): Cobb-Douglas contra Leontief
Cobb-Douglas (σ=1): els òptims s’alineen en una recta des de l’origen. Leontief (σ=0): els òptims seguixen el vèrtex en L de cada isoquanta — no hi ha substitució possible.
6. Productivitat a Espanya i reptes contemporanis
6.1. Diagnòstic
La productivitat per hora treballada espanyola (Eurostat 2024) s’ha estancat des de la crisi financera. Causes estructurals: tamany empresarial reduït (el 95 % de les empreses té menys de 10 treballadors; el 53 % són autònoms), baixa inversió en I+D (1,4 % del PIB en 2023, davant del 2,2 % UE), bretxa digital sectorial i especialització en serveis de baix valor afegit (turisme, hostaleria).
El capital humà (Becker 1964) és factor clau: Espanya té una alta proporció de titulats universitaris però al mateix temps una elevada taxa d’abandó escolar primerenc (13,7 % en 2023). La FP dual ha crescut però continua per davall de la cobertura alemanya o austríaca.
6.2. Automatització, IA i «cursa» Acemoglu-Restrepo
Acemoglu-Restrepo (2018, 2020): l’automatització és ambivalent. L’efecte desplaçament substituïx treballadors en tasques rutinàries; l’efecte productivitat i la creació de tasques noves poden compensar-lo. L’evidència mostra que als EUA cada robot industrial addicional per cada mil treballadors ha reduït l’ocupació entre 0,2 i 0,4 punts, especialment en zones industrials del Mig Oest.
La IA generativa (LLM, 2022-2025) planteja una disrupció qualitativa diferent: afecta a tasques cognitives no rutinàries. Els marcs europeus (AI Act 2024) i nacionals (Estratègia Nacional d’IA, ENIA 2025) tracten de combinar adopció i protecció d’ocupació.
Diagnòstic ES 2024
Factors estructurals de la baixa productivitat espanyola
| Factor | Indicador | Espanya | Referència UE |
|---|---|---|---|
| Tamany empresarial | % empreses <10 trab. | 95 % | ~80 % UE |
| Inversió en I+D | % PIB (2023) | 1,4 % | 2,2 % UE-27 |
| Capital intangible | % inversió empresarial | 30 % | 40 % SE · 45 % UK |
| FP / capital humà | Abandó escolar primerenc | 13,7 % | 9,6 % UE-27 |
Conclusió
La teoria de la producció, ancorada en la llei de rendiments decreixents (Ricardo 1817), les funcions homogènies i la Cobb-Douglas (1928), ha sigut aplicada a creixement macro (Solow 1956), decisions empresarials i anàlisi de productivitat. Els reptes actuals: intel·ligència artificial (Acemoglu-Restrepo 2018), robòtica, economia verda i la persistent bretxa de productivitat d’Espanya respecte a UE-27.
La tesi que articula aquest tema és que la producció no és un procés físic neutre sinó una relació econòmica amb propietats analítiques precises: rendiments decreixents a curt termini (Ricardo 1817), substitució tècnica entre factors a llarg termini (isoquantes, RMST) i rendiments a escala a molt llarg termini (funcions homogènies, Cobb-Douglas 1928). Aquestes tres dimensions no són independents: la llei de rendiments decreixents opera sobre un factor quan els altres són fixos; els rendiments a escala es referixen a l’expansió proporcional de tots els factors. Confondre els dos conceptes és un dels errors més freqüents en l’exposició del temari.
El tema cobrix tres grans blocs. El primer és la producció a curt termini: la tríada PT-PMe-PMg, les seues relacions geomètriques (PMg talla PMe en el seu màxim) i les tres etapes de producció que delimiten la zona racional d’operació (etapa II: PMg decreixent, PT creixent). El segon bloc és el llarg termini: isoquantes i isocosts, la condició de tangència òptima (RMST = w/r), la sendera d’expansió i els casos extrems Cobb-Douglas (σ=1), Leontief (σ=0) i CES (Arrow et al. 1961). El tercer bloc és la productivitat total dels factors: el residu de Solow (1957), el paper del capital humà (Becker 1964), el capital intangible (Haskel-Westlake 2017) i el debat contemporani sobre automatització i IA (Acemoglu-Restrepo 2018).
Els vincles amb el temari són múltiples i directes. Les corbes de costos (Tema 13) són la contrapartida monetària de les relacions productives ací establides: CMg és la inversa de PMg multiplicada pel salari (w/PMgL), i el CMe mínim correspon exactament al nivell de PMe màxim. La decisió d’oferta de l’empresa perfectament competitiva (Tema 14) descansa en la corba de CMg, que al seu torn deriva de la funció de producció. La distribució funcional de la renda (Tema 19, teoria marginal de Clark) és l’aplicació directa de les productivitats marginals de cada factor a les seues remuneracions de mercat. I la PTF com a motor del creixement connecta amb el model de Solow (Tema 23) i amb la política d’innovació i I+D (Tema 18).
La idea clau per a l’opositor és la següent: la funció de producció formalitza el vincle micro-macro essencial de l’economia; entendre què determina la productivitat marginal dels factors és entendre què determina els salaris, la rendibilitat del capital i, en última instància, el creixement econòmic a llarg termini. La bretxa de productivitat d’Espanya respecte a la mitjana UE-27 no és una anomalia estadística: és la conseqüència agregada d’un teixit empresarial caracteritzat per un tamany reduït, baixa inversió en I+D i intangibles, i una especialització sectorial que concentra ocupació en activitats de baix valor afegit.
- RICARDO, D. (1817): Principles of Political Economy and Taxation.
- WICKSELL, K. (1893): Value, Capital and Rent.
- CLARK, J.B. (1899): The Distribution of Wealth.
- COBB, C.W. i DOUGLAS, P.H. (1928): «A Theory of Production», American Economic Review.
- HICKS, J.R. (1932): The Theory of Wages.
- SOLOW, R. (1957): «Technical Change and the Aggregate Production Function», RES.
- ARROW, K., CHENERY, H., MINHAS, B. i SOLOW, R. (1961): «Capital-Labor Substitution and Economic Efficiency», RES.
- BECKER, G. (1964): Human Capital (Nobel 1992).
- VARIAN, H.R. (2014): Intermediate Microeconomics.
- ACEMOGLU, D. i RESTREPO, P. (2018): «The Race between Man and Machine», AER.
- INE (2024): Comptabilitat Nacional Trimestral, productivitat per hora treballada.
- EUROSTAT (2024): Labour productivity per hour worked, ESA 2010.
- BANC D'ESPANYA (2024): Informe anual sobre productivitat i creixement potencial.
Síntesi del tema
El one-pager de síntesi del tema, per a un repàs ràpid.
Eina inclosa en la subscripció.
Subscriu-te · 25 €/mes