Supuesto 2
Enunciado
Un inversor minorista realiza una imposición a plazo fijo (IPF) en una entidad de crédito por importe inicial C₀ = 5.000€ a un tipo de interés nominal anual del 4% capitalizable trimestralmente (m = 4) durante un plazo de 3 años.
La capitalización compuesta y subperiódica es la práctica estándar en mercados financieros (Fisher, 1930). El TAE (Tasa Anual Equivalente), regulado por la Circular 5/2012 del Banco de España, permite comparar productos con distintas frecuencias de capitalización.
Se pide:
- Calcula el capital acumulado al cabo de 3 años aplicando la fórmula de capitalización compuesta subperiódica.
- Calcula el TAE y verifica que el resultado equivalente con TAE coincide con el cálculo directo.
- Si tras los 3 años reinvierte todo el capital en otro depósito al 3% nominal con capitalización mensual durante 2 años más, ¿cuál será el capital final?
- Calcula la rentabilidad efectiva anual media de los 5 años globales.
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Aplicamos la capitalización compuesta subperiódica de Fisher (1930): cuando el tipo nominal anual se aplica m veces al año, el capital crece según una progresión geométrica de razón (1 + i_nom/m). Es la convención estándar en banca minorista regulada por la Circular 5/2012 del Banco de España. La alternativa (capitalización simple) ignoraría la reinversión de intereses y subestimaría el resultado; la capitalización continua (Cf = C₀ · e^(i·n)) es el caso límite cuando m → ∞.
Sustituimos: el tipo trimestral efectivo es i_trim = 0,04/4 = 0,01 (1% por trimestre); el número total de subperiodos es m·n = 4·3 = 12 trimestres.
Intereses brutos generados en los 3 años: 5.634,13 − 5.000 = 634,13€.
C_f (3 años) = 5.634,13€
El TAE (Tasa Anual Equivalente) es el tipo efectivo anual que produciría el mismo capital final que el tipo nominal capitalizado m veces. Su finalidad regulatoria es permitir la comparación homogénea entre productos con frecuencias de capitalización distintas (Banco de España, Circular 5/2012).
Redondeada a dos decimales: TAE ≈ 4,06%. Verificación capitalizando 3 años con el TAE en lugar del nominal trimestral:
TAE = 4,06% (4,0604% sin redondear)
El TAE (4,06%) supera el tipo nominal (4%) por el efecto de la capitalización subanual: los intereses generados cada trimestre vuelven a generar intereses en los siguientes. Cuanto más frecuente la capitalización, mayor TAE. En el límite (capitalización continua), TAE = e^i − 1 = e^0,04 − 1 = 4,081%. La regla práctica: el TAE crece de forma cóncava con m, y la mayor parte de la ganancia se obtiene ya en frecuencias mensuales o diarias.
Aplicamos de nuevo la fórmula de capitalización compuesta subperiódica, con C₀’ = 5.634,13€ (capital al final del primer depósito), i_nom = 3%, m = 12 (mensual), n = 2 años. El número total de subperiodos es 12·2 = 24 meses; el tipo mensual efectivo es 0,03/12 = 0,0025 (0,25%).
Intereses generados en este segundo tramo: 5.982,07 − 5.634,13 = 347,94€.
Capital final tras 5 años = 5.982,07€
Cuando una inversión atraviesa tramos con tipos distintos, la rentabilidad media correcta es la media geométrica de los factores de capitalización (Brealey-Myers, Principles of Corporate Finance). Es la única que reproduce el capital final compuesto observado.
Rentabilidad media anual (geométrica) ≈ 3,65%
La media geométrica es la correcta para series temporales de rentabilidades. La media aritmética simple de los TAE de cada tramo ((4,06% + 3,04%)/2 ≈ 3,55%) subestima el efecto compuesto y daría un capital final inferior al observado. La diferencia parece pequeña, pero acumulada a lo largo de horizontes largos (planes de pensiones, fondos a 30 años) puede suponer miles de euros. Por ese motivo los reglamentos de fondos de inversión y benchmarks de gestión exigen reportar rentabilidades anualizadas geométricamente, no aritméticas (CNMV; Brennan-Schwartz, 1985).
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Este supuesto es del tema 28. En la primera prueba también tendrás que desarrollar un tema por escrito: escribe de memoria un apartado y en menos de un minuto tienes una nota del 1 al 100 y lo que te falta.
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