oposicioneseconomia.es ES · CA

Supòsit 12

Tema 28 · Andalucía 2021 ·
Supuesto 12 · Tema 28 · Andalucía 2021 ·

Enunciado

Un inversor minorista realitza una imposició a termini fix (IPF) en una entitat de crèdit per import inicial C₀ = 5.000€ a un tipus d’interés nominal anual del 4% capitalitzable trimestralment (m = 4) durant un termini de 3 anys.

La capitalització composta i subperiòdica és la pràctica estàndard en mercats financers (Fisher, 1930). El TAE (Taxa Anual Equivalent), regulada per la Circular 5/2012 del Banc d’Espanya, permet comparar productes amb distintes freqüències de capitalització.

Es demana:

  1. Calcula el capital acumulat al cap de 3 anys aplicant la fórmula de capitalització composta subperiòdica.
  2. Calcula el TAE i verifica que el resultat equivalent amb TAE coincideix amb el càlcul directe.
  3. Si després dels 3 anys reinverteix tot el capital en un altre dipòsit al 3% nominal amb capitalització mensual durant 2 anys més, quin serà el capital final?
  4. Calcula la rendibilitat efectiva anual mitjana dels 5 anys globals.
Mostrar solución
a) Capital acumulat en 3 anys amb capitalització trimestral
C_f = C₀ · (1 + i_nom/m)^(m·n)
C_f = 5.000 · (1 + 0,04/4)^(4·3) = 5.000 · 1,01¹²
1,01¹² = 1,12683
C_f = 5.000 · 1,12683 = 5.634,13€
Resultado

C_f (3 anys) = 5.634,13€

b) TAE i verificació
TAE = (1 + i_nom/m)^m − 1
Taxa anual efectiva equivalent
TAE = (1 + 0,01)⁴ − 1 = 1,04060 − 1 = 4,06%

Verificació amb el TAE:

C_f = 5.000 · (1 + TAE)³ = 5.000 · 1,0406³ = 5.634,13€ ✓
Resultado

TAE = 4,06%

Interpretación

El TAE (4,06%) supera el tipus nominal (4%) per l’efecte de la capitalització subanual: els interessos generats cada trimestre tornen a generar interessos en els següents. Com més freqüent la capitalització, major TAE. En el límit (capitalització contínua), TAE = e^i − 1.

c) Reinversió 2 anys al 3% capitalització mensual
C_f' = 5.634,13 · (1 + 0,03/12)^(12·2)
C_f' = 5.634,13 · (1,0025)²⁴ = 5.634,13 · 1,06176
C_f' = 5.982,14€
Resultado

Capital final després de 5 anys = 5.982,14€

d) Rendibilitat efectiva anual mitjana dels 5 anys
(1 + r)⁵ = 5.982,14 / 5.000 = 1,19643
r = 1,19643^(1/5) − 1 = 0,03659 = 3,66%
Resultado

Rendibilitat mitjana anual (geomètrica) = 3,66%

Interpretación

La mitjana geomètrica és la correcta per a sèries de rendibilitats temporals (a diferència de la mitjana aritmètica, que sobrevalora). Si calculàrem la mitjana aritmètica simple ((4,06+3,04)/2 = 3,55%), subestimaríem l’efecte compost. Aquesta diferència és rellevant en gestió de carteres i benchmarks (Brennan-Schwartz, 1985).