oposicioneseconomia.es ES · CA

Supòsit 40

Tema 16 · Catalunya ·
Supuesto 40 · Tema 16 · Catalunya ·

Enunciado

Dues empreses operen en un mercat oligopolístic (duopoli) amb producte homogeni, triant simultàniament les seues quantitats a produir (model de Cournot, 1838). La demanda inversa de mercat és:

P = 120 − Q, on Q = q₁ + q₂

Ambdues empreses tenen costos simètrics amb CMg = 20€/u i sense costos fixos. Els directius prenen les decisions de producció de manera estratègica, conjecturant la quantitat rival.

Es demana:

  1. Deriva la funció de reacció (best response) de cada empresa.
  2. Calcula l’equilibri de Nash-Cournot per simetria.
  3. Calcula preu, quantitat agregada i benefici per empresa.
  4. Compara amb els resultats de competència perfecta i monopoli pur.
Mostrar solución
a) Funció de reacció de l'empresa 1

El benefici de l’empresa 1 és:

π₁ = (120 − q₁ − q₂)·q₁ − 20·q₁ = 100·q₁ − q₁² − q₁·q₂

Maximitzem respecte a q₁ prenent q₂ com a donat:

∂π₁/∂q₁ = 100 − 2·q₁ − q₂ = 0
q₁*(q₂) = (100 − q₂) / 2
Funció de reacció de l'empresa 1

Per simetria, q₂*(q₁) = (100 − q₁)/2.

b) Equilibri de Nash-Cournot

En equilibri simètric q₁ = q₂ = q*:

q* = (100 − q*) / 2 → 2·q* = 100 − q* → 3·q* = 100
q* = 33,33 unitats per empresa
Q = 2·q* = 66,67 unitats
P = 120 − 66,67 = 53,33€
Resultado

q₁ = q₂ = 33,33 | Q = 66,67 | P = 53,33€

c) Beneficis
π_i = (P − CMg) · q_i = (53,33 − 20) × 33,33 = 1.111€
π_total = 2 × 1.111 = 2.222€
Resultado

π per empresa = 1.111€ | π total indústria = 2.222€

d) Comparativa: CP vs Cournot vs Monopoli

Competència perfecta (P = CMg):

120 − Q = 20 → Q_cp = 100, P_cp = 20€, π = 0

Monopoli (IMg = CMg):

IMg = 120 − 2Q = 20 → Q_m = 50, P_m = 70€
π_m = (70 − 20) × 50 = 2.500€
Interpretación

El duopoli Cournot se situa entre competència i monopoli:

• Q_cp (100) major que Q_cournot (66,67) major que Q_m (50)

• P_cp (20) menor que P_cournot (53,33) menor que P_m (70)

• π_indústria_cp (0) menor que π_cournot (2.222) menor que π_m (2.500)

L’equilibri Cournot és ineficient des del punt de vista del mercat (P major que CMg, hi ha DWL) però també subòptim per a les empreses respecte al càrtel monopolístic. La diferència és el dilema del presoner: ambdues tindrien incentius a coludir i produir 25 cadascuna (meitat del monopoli), però la desviació unilateral és rendible, així que el càrtel és inestable sense mecanismes d’enforcement (Stigler, 1964).