Supòsit 132

Tema 12 · Galicia ·

Per Pau Monterde, professor d'Economia a Secundària

Tema 12 · Galicia · Modelo

Enunciado

Una empresa conservera gallega (sector amb alta tradició exportadora: Albo, Jealsa, Anfaco) utilitza capital (K) i treball (L) segons la funció de producció Cobb-Douglas:

Q = K^(1/2) · L^(1/2)

A curt termini, el capital està fix en K = 100. El preu del treball (salari) és w = 10€/h. El preu de venda del producte és P = 5€/llanda.

Es demana:

Deriva la funció de producció a curt termini Q(L) i el producte marginal del treball (PMgL). Verifica que es compleix la llei dels rendiments decreixents (Turgot, 1767).
Troba la quantitat òptima de treball que maximitza el benefici (condició VPMgL = w).
Determina la producció òptima, el benefici i el cost total. (Cost fix de K = 500€.)
A llarg termini, amb w = 10 i preu del capital r = 40€/u, troba la isoquanta corresponent a Q = 200 llandes i el punt de minimització de costos (condició IRTS o RMTS = w/r).

Mostrar solución

a) Funció de producció CT i producte marginal

Amb K = 100 fix:

Q(L) = 100^(1/2) · L^(1/2) = 10·L^(1/2)

Producte marginal del treball (derivada parcial respecte a L):

PMgL = dQ/dL = 10 · (1/2) · L^(-1/2) = 5 / L^(1/2)

Comprovació de rendiments decreixents:

d(PMgL)/dL = −(5/2) · L^(-3/2) menor que 0 ∀L major que 0 ✓

El PMgL és decreixent: cada treballador addicional afegeix menys producció que l’anterior. Açò és la llei de rendiments decreixents (Turgot, 1767; formalitzada per Marshall, 1890 per al curt termini amb un factor fix).

Resultado

Q(L) = 10·L1/2 | PMgL = 5/L1/2 | Rendiments decreixents ✓

b) Òptim de treball: VPMgL = w

El valor del producte marginal del treball (VPMgL) és l’ingrés addicional generat per una unitat més de treball. L’empresa contracta fins que VPMgL = w (condició de primer ordre de maximització de beneficis):

VPMgL = P · PMgL = 5 · (5/L^(1/2)) = 25/L^(1/2)

25/L^(1/2) = 10 → L^(1/2) = 2,5 → L* = 6,25 hores

Resultado

L* = 6,25 hores | VPMgL(6,25) = 25/2,5 = 10€ = w ✓

Interpretación

La condició VPMgL = w (equivalent a IMg = w/P = CMg en competència perfecta) expressa que el cost de l’última unitat de treball iguala el valor de la seua aportació productiva. És el fonament microeconòmic de la demanda de treball de l’empresa (Marshall, 1890; Hicks, 1932).

c) Producció, cost i benefici òptims

Q* = 10 · (6,25)^(1/2) = 10 · 2,5 = 25 llandes

CV = w · L* = 10 × 6,25 = 62,5€

CF = 500€

CT = CF + CV = 562,5€

IT = P · Q* = 5 × 25 = 125€

π = IT − CT = 125 − 562,5 = −437,5€

L’empresa incorre en pèrdues a curt termini, però continua operant perquè IT = 125 major que CV = 62,5: cobreix costos variables i part dels fixos (contribueix a reduir la pèrdua respecte al tancament, on la pèrdua seria el CF complet = 500€).

Resultado

Q* = 25 llandes | CT = 562,5€ | π = −437,5€ (pèrdua operativa; no tanca perquè IT major que CV)

d) Llarg termini: isoquanta Q=200 i minimització de costos

La isoquanta Q = 200 satisfà: K1/2·L1/2 = 200 → K = 40.000 / L

La relació marginal tècnica de substitució (RMTS) per a Cobb-Douglas Q = Kα·Lβ és:

RMTS = (PMgL / PMgK) = (β/α) · (K/L) = (1/2)/(1/2) · (K/L) = K/L

Condició de mínim cost: RMTS = w/r:

K/L = w/r = 10/40 = 1/4 → K = L/4

Substituint en la isoquanta:

(L/4)^(1/2) · L^(1/2) = 200 → L/2 = 200 → L* = 400; K* = 100

Cost_min = w·L* + r·K* = 10·400 + 40·100 = 4.000 + 4.000 = 8.000€

Resultado

LT: L* = 400 h | K* = 100 u | Cost mínim = 8.000€

Interpretación

La condició de tangència RMTS = w/r (Hicks, 1932) garanteix la combinació d’inputs de menor cost per produir Q = 200. L’empresa gallega hauria d’usar intensivament treball (L = 400) respecte al capital (K = 100) perquè el treball és relativament més barat (w/r = 0,25). En termes de política econòmica, els incentius a la mecanització (r baix per subsidis) alteren aquesta combinació òptima, amb efectes sobre l’ocupació sectorial que estudia l’economia laboral (Acemoglu-Restrepo, 2020 — automatització i destrucció d’ocupació en manufactures).

supuesto-progress

Crea compte gratis