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Supuesto 12

Tema 28 · Andalucía 2021 ·
Supuesto 12 · Tema 28 · Andalucía 2021 ·

Enunciado

Un inversor minorista realiza una imposición a plazo fijo (IPF) en una entidad de crédito por importe inicial C₀ = 5.000€ a un tipo de interés nominal anual del 4% capitalizable trimestralmente (m = 4) durante un plazo de 3 años.

La capitalización compuesta y subperiódica es la práctica estándar en mercados financieros (Fisher, 1930). El TAE (Tasa Anual Equivalente), regulado por la Circular 5/2012 del Banco de España, permite comparar productos con distintas frecuencias de capitalización.

Se pide:

  1. Calcula el capital acumulado al cabo de 3 años aplicando la fórmula de capitalización compuesta subperiódica.
  2. Calcula el TAE y verifica que el resultado equivalente con TAE coincide con el cálculo directo.
  3. Si tras los 3 años reinvierte todo el capital en otro depósito al 3% nominal con capitalización mensual durante 2 años más, ¿cuál será el capital final?
  4. Calcula la rentabilidad efectiva anual media de los 5 años globales.
Mostrar solución
a) Capital acumulado en 3 años con capitalización trimestral
C_f = C₀ · (1 + i_nom/m)^(m·n)
C_f = 5.000 · (1 + 0,04/4)^(4·3) = 5.000 · 1,01¹²
1,01¹² = 1,12683
C_f = 5.000 · 1,12683 = 5.634,13€
Resultado

C_f (3 años) = 5.634,13€

b) TAE y verificación
TAE = (1 + i_nom/m)^m − 1
Tasa anual efectiva equivalente
TAE = (1 + 0,01)⁴ − 1 = 1,04060 − 1 = 4,06%

Verificación con la TAE:

C_f = 5.000 · (1 + TAE)³ = 5.000 · 1,0406³ = 5.634,13€ ✓
Resultado

TAE = 4,06%

Interpretación

La TAE (4,06%) supera el tipo nominal (4%) por el efecto de la capitalización subanual: los intereses generados cada trimestre vuelven a generar intereses en los siguientes. Cuanto más frecuente la capitalización, mayor TAE. En el límite (capitalización continua), TAE = e^i − 1.

c) Reinversión 2 años al 3% capitalización mensual
C_f' = 5.634,13 · (1 + 0,03/12)^(12·2)
C_f' = 5.634,13 · (1,0025)²⁴ = 5.634,13 · 1,06176
C_f' = 5.982,14€
Resultado

Capital final tras 5 años = 5.982,14€

d) Rentabilidad efectiva anual media de los 5 años
(1 + r)⁵ = 5.982,14 / 5.000 = 1,19643
r = 1,19643^(1/5) − 1 = 0,03659 = 3,66%
Resultado

Rentabilidad media anual (geométrica) = 3,66%

Interpretación

La media geométrica es la correcta para series de rentabilidades temporales (a diferencia de la media aritmética, que sobrevalora). Si calculáramos la media aritmética simple ((4,06+3,04)/2 = 3,55%), subestimaríamos el efecto compuesto. Esta diferencia es relevante en gestión de carteras y benchmarks (Brennan-Schwartz, 1985).