Supòsit 12
Enunciado
Un inversor minorista realitza una imposició a termini fix (IPF) en una entitat de crèdit per import inicial C₀ = 5.000€ a un tipus d’interés nominal anual del 4% capitalitzable trimestralment (m = 4) durant un termini de 3 anys.
La capitalització composta i subperiòdica és la pràctica estàndard en mercats financers (Fisher, 1930). El TAE (Taxa Anual Equivalent), regulada per la Circular 5/2012 del Banc d’Espanya, permet comparar productes amb distintes freqüències de capitalització.
Es demana:
- Calcula el capital acumulat al cap de 3 anys aplicant la fórmula de capitalització composta subperiòdica.
- Calcula el TAE i verifica que el resultat equivalent amb TAE coincideix amb el càlcul directe.
- Si després dels 3 anys reinverteix tot el capital en un altre dipòsit al 3% nominal amb capitalització mensual durant 2 anys més, quin serà el capital final?
- Calcula la rendibilitat efectiva anual mitjana dels 5 anys globals.
Mostrar solución
Apliquem la capitalització composta subperiòdica de Fisher (1930): quan el tipus nominal anual s’aplica m vegades a l’any, el capital creix segons una progressió geomètrica de raó (1 + i_nom/m). És la convenció estàndard en banca minorista regulada per la Circular 5/2012 del Banc d’Espanya. L’alternativa (capitalització simple) ignoraria la reinversió d’interessos i subestimaria el resultat; la capitalització contínua (Cf = C₀ · e^(i·n)) és el cas límit quan m → ∞.
Substituïm: el tipus trimestral efectiu és i_trim = 0,04/4 = 0,01 (1% per trimestre); el nombre total de subperiodes és m·n = 4·3 = 12 trimestres.
Interessos bruts generats en els 3 anys: 5.634,13 − 5.000 = 634,13€.
C_f (3 anys) = 5.634,13€
El TAE (Taxa Anual Equivalent) és el tipus efectiu anual que produiria el mateix capital final que el tipus nominal capitalitzat m vegades. La seua finalitat regulatòria és permetre la comparació homogènia entre productes amb freqüències de capitalització distintes (Banc d’Espanya, Circular 5/2012).
Arredonida a dos decimals: TAE ≈ 4,06%. Verificació capitalitzant 3 anys amb el TAE en lloc del nominal trimestral:
TAE = 4,06% (4,0604% sense arredonir)
El TAE (4,06%) supera el tipus nominal (4%) per l’efecte de la capitalització subanual: els interessos generats cada trimestre tornen a generar interessos en els següents. Com més freqüent la capitalització, major TAE. En el límit (capitalització contínua), TAE = e^i − 1 = e^0,04 − 1 = 4,081%. La regla pràctica: el TAE creix de manera còncava amb m, i la major part del guany s’obté ja en freqüències mensuals o diàries.
Apliquem de nou la fórmula de capitalització composta subperiòdica, amb C₀’ = 5.634,13€ (capital al final del primer dipòsit), i_nom = 3%, m = 12 (mensual), n = 2 anys. El nombre total de subperiodes és 12·2 = 24 mesos; el tipus mensual efectiu és 0,03/12 = 0,0025 (0,25%).
Interessos generats en aquest segon tram: 5.982,07 − 5.634,13 = 347,94€.
Capital final després de 5 anys = 5.982,07€
Quan una inversió travessa trams amb tipus distints, la rendibilitat mitjana correcta és la mitjana geomètrica dels factors de capitalització (Brealey-Myers, Principles of Corporate Finance). És l’única que reprodueix el capital final compost observat.
Rendibilitat mitjana anual (geomètrica) ≈ 3,65%
La mitjana geomètrica és la correcta per a sèries temporals de rendibilitats. La mitjana aritmètica simple dels TAE de cada tram ((4,06% + 3,04%)/2 ≈ 3,55%) subestima l’efecte compost i donaria un capital final inferior a l’observat. La diferència sembla menuda, però acumulada al llarg d’horitzons llargs (plans de pensions, fons a 30 anys) pot suposar milers d’euros. Per aqueix motiu els reglaments de fons d’inversió i benchmarks de gestió exigeixen reportar rendibilitats anualitzades geomètricament, no aritmètiques (CNMV; Brennan-Schwartz, 1985).