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Supuesto 5

Tema 6 · Galicia ·
Supuesto 5 · Tema 6 · Galicia ·

Enunciado

Una empresa price-taker opera en un mercado de competencia perfecta. Su función de costes totales a corto plazo es:

CT(q) = q³ − 6q² + 15q + 10

donde el término independiente (10€) representa los costes fijos (CF) y el resto los costes variables (CV). La empresa puede ajustar la producción pero no puede modificar los factores fijos a corto plazo.

Se pide:

  1. Deriva las funciones de coste marginal (CMg), coste medio total (CMe), coste variable medio (CVMe) y coste fijo medio (CFMe).
  2. Calcula el mínimo del CVMe (umbral o precio de cierre) y el mínimo del CMe (umbral de rentabilidad).
  3. Obtén la función de oferta de la empresa a corto plazo y explica el criterio de cierre temporal.
  4. Si el precio de mercado fuera P = 15€, calcula la cantidad ofertada y el beneficio.
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a) Funciones de coste

Descomponemos CT en parte variable y parte fija:

CV(q) = q³ − 6q² + 15q | CF = 10
CMg = dCT/dq = 3q² − 12q + 15
Coste de producir una unidad adicional
CMe = CT/q = q² − 6q + 15 + 10/q
Coste medio total
CVMe = CV/q = q² − 6q + 15
Coste variable medio
CFMe = CF/q = 10/q
Coste fijo medio (decreciente con q)
b) Umbrales de cierre y rentabilidad

Umbral de cierre (mínimo del CVMe):

dCVMe/dq = 2q − 6 = 0 → q = 3
CVMe(3) = 9 − 18 + 15 = 6€

Umbral de rentabilidad (mínimo del CMe), donde CMe = CMg:

3q² − 12q + 15 = q² − 6q + 15 + 10/q → resolver numéricamente

Mediante tanteo, q ≈ 3,5 → CMe(3,5) ≈ 8,4€

Resultado

Umbral de cierre: P = 6€ (q = 3)

Umbral de rentabilidad: P ≈ 8,4€ (q ≈ 3,5)

c) Función de oferta a corto plazo
Interpretación

La función de oferta individual es la curva de CMg por encima del mínimo del CVMe. Por debajo de ese precio, la empresa no cubre los costes variables y prefiere cerrar temporalmente (perdería más operando que parando).

El razonamiento del cierre se basa en la idea de Viner (1931): a corto plazo los costes fijos son hundidos. Si P mayor o igual a CVMe_min, la empresa al menos cubre los variables y reduce las pérdidas; si P menor que CVMe_min, mejor cerrar y asumir solo el coste fijo.

Oferta: P = 3q² − 12q + 15 si P mayor o igual a 6€
Oferta: q = 0 si P menor que 6€
d) Producción y beneficio si P = 15€

Igualamos CMg = P:

3q² − 12q + 15 = 15 → 3q² − 12q = 0 → q(q − 4) = 0 → q = 4
IT = 15 × 4 = 60€
CT(4) = 64 − 96 + 60 + 10 = 38€
B = IT − CT = 60 − 38 = 22€
Resultado

q* = 4 unidades | B = 22€ (beneficios extraordinarios)

Interpretación

Como hay beneficios extraordinarios y suponemos libre entrada (CP), nuevas empresas entrarán al mercado, aumentando la oferta agregada y bajando el precio hasta el umbral de rentabilidad. A largo plazo, en competencia perfecta, B = 0 y P = mínimo del CMe largo plazo.