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Supuesto 40

Tema 16 · Catalunya ·
Supuesto 40 · Tema 16 · Catalunya ·

Enunciado

Dos empresas operan en un mercado oligopolístico (duopolio) con producto homogéneo, eligiendo simultáneamente sus cantidades a producir (modelo de Cournot, 1838). La demanda inversa de mercado es:

P = 120 − Q, donde Q = q₁ + q₂

Ambas empresas tienen costes simétricos con CMg = 20€/u y sin costes fijos. Los directivos toman las decisiones de producción de forma estratégica, conjeturando la cantidad rival.

Se pide:

  1. Deriva la función de reacción (best response) de cada empresa.
  2. Calcula el equilibrio de Nash-Cournot por simetría.
  3. Calcula precio, cantidad agregada y beneficio por empresa.
  4. Compara con los resultados de competencia perfecta y monopolio puro.
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a) Función de reacción de la empresa 1

El beneficio de la empresa 1 es:

π₁ = (120 − q₁ − q₂)·q₁ − 20·q₁ = 100·q₁ − q₁² − q₁·q₂

Maximizamos respecto a q₁ tomando q₂ como dado:

∂π₁/∂q₁ = 100 − 2·q₁ − q₂ = 0
q₁*(q₂) = (100 − q₂) / 2
Función de reacción de la empresa 1

Por simetría, q₂*(q₁) = (100 − q₁)/2.

b) Equilibrio de Nash-Cournot

En equilibrio simétrico q₁ = q₂ = q*:

q* = (100 − q*) / 2 → 2·q* = 100 − q* → 3·q* = 100
q* = 33,33 unidades por empresa
Q = 2·q* = 66,67 unidades
P = 120 − 66,67 = 53,33€
Resultado

q₁ = q₂ = 33,33 | Q = 66,67 | P = 53,33€

c) Beneficios
π_i = (P − CMg) · q_i = (53,33 − 20) × 33,33 = 1.111€
π_total = 2 × 1.111 = 2.222€
Resultado

π por empresa = 1.111€ | π total industria = 2.222€

d) Comparativa: CP vs Cournot vs Monopolio

Competencia perfecta (P = CMg):

120 − Q = 20 → Q_cp = 100, P_cp = 20€, π = 0

Monopolio (IMg = CMg):

IMg = 120 − 2Q = 20 → Q_m = 50, P_m = 70€
π_m = (70 − 20) × 50 = 2.500€
Interpretación

El duopolio Cournot se sitúa entre competencia y monopolio:

• Q_cp (100) mayor que Q_cournot (66,67) mayor que Q_m (50)

• P_cp (20) menor que P_cournot (53,33) menor que P_m (70)

• π_industria_cp (0) menor que π_cournot (2.222) menor que π_m (2.500)

El equilibrio Cournot es ineficiente desde el punto de vista del mercado (P mayor que CMg, hay DWL) pero también subóptimo para las empresas respecto al cártel monopolístico. La diferencia es el dilema del prisionero: ambas tendrían incentivos a coludir y producir 25 cada una (mitad del monopolio), pero la desviación unilateral es rentable, así que el cártel es inestable sin mecanismos de enforcement (Stigler, 1964).