Supuesto 1
Enunciado
Un consumidor representativo con preferencias regulares (continuas, monótonas y convexas) tiene una función de utilidad de tipo Cobb-Douglas U(x, y) = x · y, donde x e y son cantidades de dos bienes normales perfectamente divisibles.
Los precios son Px = 2€ y Py = 4€, y la renta nominal del consumidor es M = 100€. Suponemos que el consumidor agota la renta (no ahorro) y se comporta racionalmente en el sentido de maximizar utilidad sujeto a la restricción presupuestaria, según el modelo neoclásico (Hicks-Allen, 1934).
Se pide:
- Plantea formalmente el problema del consumidor y deriva las funciones de demanda marshallianas para los bienes X e Y.
- Calcula la cesta óptima de consumo y la utilidad alcanzada.
- Si Px sube a 4€ (manteniendo Py y M constantes), descompón la variación total del consumo de X en efecto sustitución y efecto renta mediante el método de Slutsky (1915).
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El problema del consumidor es:
El óptimo interior se caracteriza por la tangencia entre la curva de indiferencia y la recta de balance: la Relación Marginal de Sustitución (RMS, pendiente de la curva de indiferencia) iguala el cociente de precios (pendiente de la restricción presupuestaria). Económicamente, el consumidor sigue sustituyendo X por Y mientras la valoración subjetiva (RMS) difiera de la valoración objetiva del mercado (Px/Py); el equilibrio se alcanza cuando ambas igualan, formalismo de optimización condicionada introducido por Hicks-Allen (1934) que prescinde de la utilidad cardinal.
Combinando con la restricción presupuestaria y resolviendo (resultado clásico Cobb-Douglas con exponentes iguales: cada bien recibe la mitad del gasto):
En las preferencias Cobb-Douglas U = x^α · y^β, la fracción de renta gastada en cada bien es constante (α/(α+β) y β/(α+β)). Aquí α = β = 1, así que cada bien absorbe el 50% del presupuesto.
Verificación de la restricción: 2·25 + 4·12,5 = 50 + 50 = 100€ ✓
(x*, y*) = (25; 12,5) | U* = 312,5
El consumidor gasta 50€ en X (25 ud × 2€) y 50€ en Y (12,5 ud × 4€), confirmando la regla de Cobb-Douglas con exponentes iguales: el reparto del presupuesto es 50/50. La utilidad es ordinal: el valor 312,5 no tiene significado absoluto, solo permite comparar cestas (Pareto, 1906).
Paso 1 — Nueva cesta óptima (efecto total):
Paso 2 — Renta compensada de Slutsky: renta hipotética que permitiría comprar la cesta inicial a los nuevos precios.
Paso 3 — Cesta intermedia (con nuevos precios y renta compensada):
Paso 4 — Descomposición:
Δx_total = −12,5 = ES (−6,25) + ER (−6,25)
Ambos efectos son negativos: X es un bien normal y ordinario. El ES es negativo por la convexidad de las preferencias (al encarecerse X se sustituye por Y); el ER es negativo porque la subida de Px reduce el poder adquisitivo y X es bien normal. La descomposición de Slutsky utiliza renta compensada nominal; la alternativa de Hicks usaría renta que mantiene la utilidad inicial (más exacta teóricamente pero menos operativa empíricamente).