Supuesto 2

Tema 3 · Madrid 2021 ·

Supuesto 2 · Tema 3 · Madrid 2021 ·

Enunciado

Un consumidor representativo con preferencias regulares (continuas, monótonas y convexas) tiene una función de utilidad de tipo Cobb-Douglas U(x, y) = x · y, donde x e y son cantidades de dos bienes normales perfectamente divisibles.

Los precios son Px = 2€ y Py = 4€, y la renta nominal del consumidor es M = 100€. Suponemos que el consumidor agota la renta (no ahorro) y se comporta racionalmente en el sentido de maximizar utilidad sujeto a la restricción presupuestaria, según el modelo neoclásico (Hicks-Allen, 1934).

Se pide:

Plantea formalmente el problema del consumidor y deriva las funciones de demanda marshallianas para los bienes X e Y.
Calcula la cesta óptima de consumo y la utilidad alcanzada.
Si Px sube a 4€ (manteniendo Py y M constantes), descompón la variación total del consumo de X en efecto sustitución y efecto renta mediante el método de Slutsky (1915).

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a) Funciones de demanda marshallianas

El problema del consumidor es:

max U(x,y) = x·y s.a. Px·x + Py·y = M

El óptimo interior se caracteriza por la tangencia entre la curva de indiferencia y la recta de balance: la Relación Marginal de Sustitución iguala el cociente de precios.

UMgx = ∂U/∂x = y | UMgy = ∂U/∂y = x

RMS_xy = UMgx / UMgy = y / x = Px / Py

Condición de tangencia

Combinando con la restricción presupuestaria y resolviendo (resultado clásico Cobb-Douglas con exponentes iguales: cada bien recibe la mitad del gasto):

x*(Px, Py, M) = M / (2·Px)

Demanda marshalliana de X

y*(Px, Py, M) = M / (2·Py)

Demanda marshalliana de Y

Interpretación

En las preferencias Cobb-Douglas U = x^α · y^β, la fracción de renta gastada en cada bien es constante (α/(α+β) y β/(α+β)). Aquí α = β = 1, así que cada bien absorbe el 50% del presupuesto.

b) Cesta óptima inicial

x* = 100 / (2 × 2) = 25 unidades

y* = 100 / (2 × 4) = 12,5 unidades

U* = 25 × 12,5 = 312,5 útiles

Verificación de la restricción: 2·25 + 4·12,5 = 50 + 50 = 100€ ✓

Resultado

(x*, y*) = (25; 12,5) | U* = 312,5

c) Descomposición de Slutsky tras Px = 4€

Paso 1 — Nueva cesta óptima (efecto total):

x' = 100 / (2 × 4) = 12,5 | y' = 100 / (2 × 4) = 12,5

Δx_total = x' − x* = 12,5 − 25 = −12,5 unidades

Paso 2 — Renta compensada de Slutsky: renta hipotética que permitiría comprar la cesta inicial a los nuevos precios.

M' = Px'·x* + Py·y* = 4×25 + 4×12,5 = 150€

Paso 3 — Cesta intermedia (con nuevos precios y renta compensada):

x'' = 150 / (2×4) = 18,75 | y'' = 150 / (2×4) = 18,75

Paso 4 — Descomposición:

Efecto Sustitución (ES) = x'' − x* = 18,75 − 25 = −6,25

Movimiento a lo largo de la curva de indiferencia original

Efecto Renta (ER) = x' − x'' = 12,5 − 18,75 = −6,25

Pérdida de poder adquisitivo

ES + ER = −6,25 − 6,25 = −12,5 = Δx_total ✓

Resultado

Δx_total = −12,5 = ES (−6,25) + ER (−6,25)

Interpretación

Ambos efectos son negativos: X es un bien normal y ordinario. El ES es negativo por la convexidad de las preferencias (al encarecerse X se sustituye por Y); el ER es negativo porque la subida de Px reduce el poder adquisitivo y X es bien normal. La descomposición de Slutsky utiliza renta compensada nominal; la alternativa de Hicks usaría renta que mantiene la utilidad inicial (más exacta teóricamente pero menos operativa empíricamente).