Supòsit 2

Tema 3 · Madrid 2021 ·

Supuesto 2 · Tema 3 · Madrid 2021 ·

Enunciado

Un consumidor representatiu amb preferències regulars (contínues, monòtones i convexes) té una funció d’utilitat de tipus Cobb-Douglas U(x, y) = x · y, on x i y són quantitats de dos béns normals perfectament divisibles.

Els preus són Px = 2€ i Py = 4€, i la renda nominal del consumidor és M = 100€. Suposem que el consumidor esgota la renda (no estalvi) i es comporta racionalment en el sentit de maximitzar utilitat subjecte a la restricció pressupostària, segons el model neoclàssic (Hicks-Allen, 1934).

Es demana:

Planteja formalment el problema del consumidor i deriva les funcions de demanda marshallianes per als béns X i Y.
Calcula la cistella òptima de consum i la utilitat aconseguida.
Si Px puja a 4€ (mantenint Py i M constants), descompon la variació total del consum de X en efecte substitució i efecte renda mitjançant el mètode de Slutsky (1915).

Mostrar solución

a) Funcions de demanda marshallianes

El problema del consumidor és:

max U(x,y) = x·y s.a. Px·x + Py·y = M

L’òptim interior es caracteritza per la tangència entre la corba d’indiferència i la recta de balanç: la Relació Marginal de Substitució iguala el quocient de preus.

UMgx = ∂U/∂x = y | UMgy = ∂U/∂y = x

RMS_xy = UMgx / UMgy = y / x = Px / Py

Condició de tangència

Combinant amb la restricció pressupostària i resolent (resultat clàssic Cobb-Douglas amb exponents iguals: cada bé rep la meitat de la despesa):

x*(Px, Py, M) = M / (2·Px)

Demanda marshalliana de X

y*(Px, Py, M) = M / (2·Py)

Demanda marshalliana de Y

Interpretación

En les preferències Cobb-Douglas U = x^α · y^β, la fracció de renda gastada en cada bé és constant (α/(α+β) i β/(α+β)). Ací α = β = 1, per tant cada bé absorbeix el 50% del pressupost.

b) Cistella òptima inicial

x* = 100 / (2 × 2) = 25 unitats

y* = 100 / (2 × 4) = 12,5 unitats

U* = 25 × 12,5 = 312,5 útils

Verificació de la restricció: 2·25 + 4·12,5 = 50 + 50 = 100€ ✓

Resultado

(x*, y*) = (25; 12,5) | U* = 312,5

c) Descomposició de Slutsky després de Px = 4€

Pas 1 — Nova cistella òptima (efecte total):

x' = 100 / (2 × 4) = 12,5 | y' = 100 / (2 × 4) = 12,5

Δx_total = x' − x* = 12,5 − 25 = −12,5 unitats

Pas 2 — Renda compensada de Slutsky: renda hipotètica que permetria comprar la cistella inicial als nous preus.

M' = Px'·x* + Py·y* = 4×25 + 4×12,5 = 150€

Pas 3 — Cistella intermèdia (amb nous preus i renda compensada):

x'' = 150 / (2×4) = 18,75 | y'' = 150 / (2×4) = 18,75

Pas 4 — Descomposició:

Efecte Substitució (ES) = x'' − x* = 18,75 − 25 = −6,25

Moviment al llarg de la corba d'indiferència original

Efecte Renda (ER) = x' − x'' = 12,5 − 18,75 = −6,25

Pèrdua de poder adquisitiu

ES + ER = −6,25 − 6,25 = −12,5 = Δx_total ✓

Resultado

Δx_total = −12,5 = ES (−6,25) + ER (−6,25)

Interpretación

Ambdós efectes són negatius: X és un bé normal i ordinari. L’ES és negatiu per la convexitat de les preferències (en encarir-se X se substitueix per Y); l’ER és negatiu perquè la pujada de Px redueix el poder adquisitiu i X és bé normal. La descomposició de Slutsky utilitza renda compensada nominal; l’alternativa de Hicks utilitzaria renda que manté la utilitat inicial (més exacta teòricament però menys operativa empíricament).