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Supuesto 7

Tema 12 · Galicia ·

Por , profesor de Economía en Secundaria

Tema 12 · Galicia · Modelo

Enunciado

Una empresa conservera gallega (sector con alta tradición exportadora: Albo, Jealsa, Anfaco) utiliza capital (K) y trabajo (L) según la función de producción Cobb-Douglas:

Q = K^(1/2) · L^(1/2)

En el corto plazo, el capital está fijo en K = 100. El precio del trabajo (salario) es w = 10€/h. El precio de venta del producto es P = 5€/lata.

Se pide:

  1. Deriva la función de producción a corto plazo Q(L) y el producto marginal del trabajo (PMgL). Verifica que se cumple la ley de los rendimientos decrecientes (Turgot, 1767).
  2. Halla la cantidad óptima de trabajo que maximiza el beneficio (condición VPMgL = w).
  3. Determina la producción óptima, el beneficio y el coste total. (Coste fijo de K = 500€.)
  4. En el largo plazo, con w = 10 y precio del capital r = 40€/u, halla la isocuanta correspondiente a Q = 200 latas y el punto de minimización de costes (condición IRTS o RMTS = w/r).
Mostrar solución
a) Función de producción CP y producto marginal

Con K = 100 fijo:

Q(L) = 100^(1/2) · L^(1/2) = 10·L^(1/2)

Producto marginal del trabajo (derivada parcial respecto a L):

PMgL = dQ/dL = 10 · (1/2) · L^(-1/2) = 5 / L^(1/2)

Comprobación de rendimientos decrecientes:

d(PMgL)/dL = −(5/2) · L^(-3/2) menor que 0 ∀L mayor que 0 ✓

El PMgL es decreciente: cada trabajador adicional añade menos producción que el anterior. Esto es la ley de rendimientos decrecientes (Turgot, 1767; formalizada por Marshall, 1890 para el corto plazo con un factor fijo).

Resultado

Q(L) = 10·L1/2 | PMgL = 5/L1/2 | Rendimientos decrecientes ✓

b) Óptimo de trabajo: VPMgL = w

El valor del producto marginal del trabajo (VPMgL) es el ingreso adicional generado por una unidad más de trabajo. La empresa contrata hasta que VPMgL = w (condición de primer orden de maximización de beneficios):

VPMgL = P · PMgL = 5 · (5/L^(1/2)) = 25/L^(1/2)
25/L^(1/2) = 10 → L^(1/2) = 2,5 → L* = 6,25 horas
Resultado

L* = 6,25 horas | VPMgL(6,25) = 25/2,5 = 10€ = w ✓

Interpretación

La condición VPMgL = w (equivalente a IMg = w/P = CMg en competencia perfecta) expresa que el coste de la última unidad de trabajo iguala el valor de su aportación productiva. Es el fundamento microeconómico de la demanda de trabajo de la empresa (Marshall, 1890; Hicks, 1932).

c) Producción, coste y beneficio óptimos
Q* = 10 · (6,25)^(1/2) = 10 · 2,5 = 25 latas
CV = w · L* = 10 × 6,25 = 62,5€
CF = 500€
CT = CF + CV = 562,5€
IT = P · Q* = 5 × 25 = 125€
π = IT − CT = 125 − 562,5 = −437,5€

La empresa incurre en pérdidas a corto plazo, pero sigue operando porque IT = 125 mayor que CV = 62,5: cubre costes variables y parte de los fijos (contribuye a reducir la pérdida respecto al cierre, donde la pérdida sería el CF completo = 500€).

Resultado

Q* = 25 latas | CT = 562,5€ | π = −437,5€ (pérdida operativa; no cierra pues IT mayor que CV)

d) Largo plazo: isocuanta Q=200 y minimización de costes
LKQ=200IsocostaE* (400, 100)100400Tangencia isocuanta-isocosta: RMTS = w/r (Hicks, 1932).

La isocuanta Q = 200 satisface: K1/2·L1/2 = 200 → K = 40.000 / L

La relación marginal técnica de sustitución (RMTS) para Cobb-Douglas Q = Kα·Lβ es:

RMTS = (PMgL / PMgK) = (β/α) · (K/L) = (1/2)/(1/2) · (K/L) = K/L

Condición de mínimo coste: RMTS = w/r:

K/L = w/r = 10/40 = 1/4 → K = L/4

Sustituyendo en la isocuanta:

(L/4)^(1/2) · L^(1/2) = 200 → L/2 = 200 → L* = 400; K* = 100
Coste_min = w·L* + r·K* = 10·400 + 40·100 = 4.000 + 4.000 = 8.000€
Resultado

LP: L* = 400 h | K* = 100 u | Coste mínimo = 8.000€

Interpretación

La condición de tangencia RMTS = w/r (Hicks, 1932) garantiza la combinación de inputs de menor coste para producir Q = 200. La empresa gallega debería usar intensivamente trabajo (L = 400) respecto al capital (K = 100) porque el trabajo es relativamente más barato (w/r = 0,25). En términos de política económica, los incentivos a la mecanización (r bajo por subsidios) alteran esta combinación óptima, con efectos sobre el empleo sectorial que estudia la economía laboral (Acemoglu-Restrepo, 2020 — automatización y destrucción de empleo en manufacturas).

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