Supuesto 9
Enunciado
Un gestor de fondos de Ibercaja Gestión (Zaragoza) construye una cartera con tres activos para el fondo conservador de su entidad. Los datos históricos mensuales (2021-2023) proporcionan los siguientes parámetros:
- Activo A (Letras del Tesoro, libre de riesgo): E[RA] = 3,2%, σA = 0% (sin riesgo)
- Activo B (Acciones IBEX dividendos): E[RB] = 9,8%, σB = 18,5%
- Activo C (Bonos corporativos IG): E[RC] = 5,6%, σC = 7,2%
- Correlación entre B y C: ρBC = 0,25
- Covarianza entre B y C: Cov(B,C) = 0,25 · 18,5% · 7,2% = 0,003330
El fondo sólo puede invertir en los activos B y C (el A sirve para calcular la CML). El gestor quiere construir la cartera de mínima varianza (CMV) y la cartera de máximo ratio de Sharpe con activos B y C.
Se pide:
- Calcula la composición y estadísticas de la cartera de mínima varianza (CMV) con activos B y C.
- Calcula el ratio de Sharpe de las carteras puras B, C y CMV, e identifica la cartera de máximo Sharpe (cartera tangente).
- Describe la frontera eficiente con activos B y C y su intersección con la Capital Market Line (CML).
- Discute las limitaciones del modelo Markowitz (1952) e identifica extensiones modernas.
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Markowitz (1952) demostró que la diversificación reduce el riesgo total de la cartera siempre que los activos no estén perfectamente correlacionados (ρ menor que 1). La cartera de mínima varianza (CMV) minimiza la varianza para cualquier nivel de rentabilidad. Con dos activos, la expresión analítica cerrada de los pesos óptimos viene dada por la condición de primer orden de la minimización de σ² sujeta a que los pesos sumen 1.
Calculamos los valores necesarios:
Estadísticas de la CMV:
CMV: wB = 5,66%, wC = 94,34% | E[R] = 5,84% | σ = 7,06% (menor que σC = 7,2%)
El ratio de Sharpe (Sharpe, 1966) mide la prima de rentabilidad por unidad de riesgo total (volatilidad). La cartera con mayor Sharpe es la cartera tangente, el único portfolio de activos con riesgo que el inversor racional debe mantener según el CAPM (separación de dos fondos de Tobin, 1958): cualquier posición se construye combinando la cartera tangente con el activo libre de riesgo.
Con rf = 3,2%:
Para encontrar la cartera tangente (máximo Sharpe en la frontera eficiente BC), resolvemos numéricamente para wB ∈ [0, 1]. Evaluamos Sharpe en varios puntos:
La cartera tangente se ubica aproximadamente en wB ≈ 20%, wC ≈ 80%:
Cartera tangente: wB ≈ 20%, wC ≈ 80% | Sharpe máximo ≈ 0,44
La frontera eficiente con activos B y C es el conjunto de carteras que maximizan la rentabilidad esperada para cada nivel de volatilidad (o minimizan el riesgo para cada rentabilidad). Es la parte superior-izquierda de la curva hiperbólica del espacio (σ, E[R]). Las carteras situadas por debajo de la CMV son ineficientes (dominadas). La Capital Market Line (CML) es la recta tangente desde el activo libre de riesgo (A) a la frontera eficiente: representa el conjunto de carteras óptimas que combinan el activo libre de riesgo con la cartera tangente.
Cualquier inversión en la CML domina a cualquier cartera pura de B y C salvo en el punto de tangencia. Un inversor con restricción de no apalancamiento invertirá entre el 0% y el 100% en la cartera tangente, complementando con letras del Tesoro.
Pendiente CML = 0,438 — equivale al ratio de Sharpe de la cartera tangente
La frontera eficiente de Markowitz (1952) revolutionó la gestión de carteras al demostrar matemáticamente que la diversificación no es sólo una práctica prudente sino una necesidad teórica: un inversor racional nunca debería mantener un activo individual cuando puede construir una cartera con mayor Sharpe. El teorema de separación de Tobin (1958) concluye que todos los inversores racionales con idénticas expectativas mantendrán la misma cartera de activos con riesgo (la cartera tangente / de mercado), variando sólo la proporción entre ésta y el activo libre de riesgo según su aversión al riesgo. Limitaciones del modelo: (1) asume normalidad de los retornos — violada en episodios de tail risk (crashes, COVID-2020); (2) los parámetros estimados (μ, σ, ρ) tienen errores de estimación que se propagan al portfolio óptimo (Michaud, 1989); (3) las covarianzas son inestables en el tiempo — el modelo Black-Litterman (1990) o los modelos de factores (FF3) son alternativas robustas usadas en la industria.
El modelo media-varianza de Markowitz (1952) se basa en supuestos que la realidad financiera viola frecuentemente:
Extensiones modernas que corrigen estas limitaciones:
El modelo Markowitz es el fundamento teórico; la industria usa extensiones más robustas en la práctica
En España, los fondos de inversión regulados por la CNMV deben declarar su categoría de riesgo (escala SRRI 1-7 del KID según Reglamento PRIIPs 1286/2014) y someten sus carteras a tests de estrés regulatorios (ESMA 2019). El marco de gestión de riesgos bancarios (Basilea III/IV) también adopta el VaR paramétrico y los modelos de simulación histórica, todos derivados del enfoque media-varianza. La industria de gestión de activos en España gestionaba 358.000 M€ en fondos de inversión en diciembre 2023 (INVERCO), cifra que muestra la relevancia práctica de estos modelos para el temario de oposiciones.