Supòsit 115
Enunciado
Un gestor de fons d’Ibercaja Gestión (Saragossa) construeix una cartera amb tres actius per al fons conservador de la seua entitat. Les dades històriques mensuals (2021-2023) proporcionen els següents paràmetres:
- Actiu A (Lletres del Tresor, lliure de risc): E[RA] = 3,2%, σA = 0% (sense risc)
- Actiu B (Accions IBEX dividends): E[RB] = 9,8%, σB = 18,5%
- Actiu C (Bons corporatius IG): E[RC] = 5,6%, σC = 7,2%
- Correlació entre B i C: ρBC = 0,25
- Covariància entre B i C: Cov(B,C) = 0,25 · 18,5% · 7,2% = 0,003330
El fons només pot invertir en els actius B i C (l’A serveix per calcular la CML). El gestor vol construir la cartera de mínima variància (CMV) i la cartera de màxim ràtio de Sharpe amb actius B i C.
Es demana:
- Calcula la composició i estadístiques de la cartera de mínima variància (CMV) amb actius B i C.
- Calcula el ràtio de Sharpe de les carteres pures B, C i CMV, i identifica la cartera de màxim Sharpe (cartera tangent).
- Descriu la frontera eficient amb actius B i C i la seua intersecció amb la Capital Market Line (CML).
- Discuteix les limitacions del model Markowitz (1952) i identifica extensions modernes.
Mostrar solución
Markowitz (1952) va demostrar que la diversificació redueix el risc total de la cartera sempre que els actius no estiguen perfectament correlacionats (ρ menor que 1). La cartera de mínima variància (CMV) minimitza la variància per a qualsevol nivell de rendibilitat. Amb dos actius, l’expressió analítica tancada dels pesos òptims ve donada per la condició de primer ordre de la minimització de σ² subjecta que els pesos sumen 1.
Calculem els valors necessaris:
Estadístiques de la CMV:
CMV: wB = 5,66%, wC = 94,34% | E[R] = 5,84% | σ = 7,06% (menor que σC = 7,2%)
El ràtio de Sharpe (Sharpe, 1966) mesura la prima de rendibilitat per unitat de risc total (volatilitat). La cartera amb major Sharpe és la cartera tangent, l’únic portfoli d’actius amb risc que l’inversor racional ha de mantenir segons el CAPM (separació de dos fons de Tobin, 1958): qualsevol posició es construeix combinant la cartera tangent amb l’actiu lliure de risc.
Amb rf = 3,2%:
Per trobar la cartera tangent (màxim Sharpe en la frontera eficient BC), resolem numèricament per a wB ∈ [0, 1]. Avaluem Sharpe en diversos punts:
La cartera tangent s’ubica aproximadament en wB ≈ 20%, wC ≈ 80%:
Cartera tangent: wB ≈ 20%, wC ≈ 80% | Sharpe màxim ≈ 0,44
La frontera eficient amb actius B i C és el conjunt de carteres que maximitzen la rendibilitat esperada per a cada nivell de volatilitat (o minimitzen el risc per a cada rendibilitat). És la part superior-esquerra de la corba hiperbòlica de l’espai (σ, E[R]). Les carteres situades per davall de la CMV són ineficients (dominades). La Capital Market Line (CML) és la recta tangent des de l’actiu lliure de risc (A) a la frontera eficient: representa el conjunt de carteres òptimes que combinen l’actiu lliure de risc amb la cartera tangent.
Qualsevol inversió en la CML domina qualsevol cartera pura de B i C llevat del punt de tangència. Un inversor amb restricció de no palanquejament invertirà entre el 0% i el 100% en la cartera tangent, complementant amb lletres del Tresor.
Pendent CML = 0,438 — equival al ràtio de Sharpe de la cartera tangent
La frontera eficient de Markowitz (1952) va revolucionar la gestió de carteres en demostrar matemàticament que la diversificació no és només una pràctica prudent sinó una necessitat teòrica: un inversor racional mai hauria de mantenir un actiu individual quan pot construir una cartera amb major Sharpe. El teorema de separació de Tobin (1958) conclou que tots els inversors racionals amb idèntiques expectatives mantindran la mateixa cartera d’actius amb risc (la cartera tangent / de mercat), variant només la proporció entre aquesta i l’actiu lliure de risc segons la seua aversió al risc. Limitacions del model: (1) assumeix normalitat dels retorns — violada en episodis de tail risk (crashes, COVID-2020); (2) els paràmetres estimats (μ, σ, ρ) tenen errors d’estimació que es propaguen al portfoli òptim (Michaud, 1989); (3) les covariàncies són inestables en el temps — el model Black-Litterman (1990) o els models de factors (FF3) són alternatives robustes usades a la indústria.
El model mitjana-variància de Markowitz (1952) es basa en supòsits que la realitat financera viola freqüentment:
Extensions modernes que corregeixen aquestes limitacions:
El model Markowitz és el fonament teòric; la indústria usa extensions més robustes a la pràctica
A Espanya, els fons d’inversió regulats per la CNMV han de declarar la seua categoria de risc (escala SRRI 1-7 del KID segons Reglament PRIIPs 1286/2014) i sotmeten les seues carteres a tests d’estrés regulatoris (ESMA 2019). El marc de gestió de riscos bancaris (Basilea III/IV) també adopta el VaR paramètric i els models de simulació històrica, tots derivats de l’enfocament mitjana-variància. La indústria de gestió d’actius a Espanya gestionava 358.000 M€ en fons d’inversió al desembre de 2023 (INVERCO), xifra que mostra la rellevància pràctica d’aquests models per al temari d’oposicions.