Supòsit 2
Enunciado
Un consumidor representatiu amb preferències regulars (contínues, monòtones i convexes) té una funció d’utilitat de tipus Cobb-Douglas U(x, y) = x · y, on x i y són quantitats de dos béns normals perfectament divisibles.
Els preus són Px = 2€ i Py = 4€, i la renda nominal del consumidor és M = 100€. Suposem que el consumidor esgota la renda (no estalvi) i es comporta racionalment en el sentit de maximitzar utilitat subjecte a la restricció pressupostària, segons el model neoclàssic (Hicks-Allen, 1934).
Es demana:
- Planteja formalment el problema del consumidor i deriva les funcions de demanda marshallianes per als béns X i Y.
- Calcula la cistella òptima de consum i la utilitat aconseguida.
- Si Px puja a 4€ (mantenint Py i M constants), descompon la variació total del consum de X en efecte substitució i efecte renda mitjançant el mètode de Slutsky (1915).
Mostrar solución
El problema del consumidor és:
L’òptim interior es caracteritza per la tangència entre la corba d’indiferència i la recta de balanç: la Relació Marginal de Substitució (RMS, pendent de la corba d’indiferència) iguala el quocient de preus (pendent de la restricció pressupostària). Econòmicament, el consumidor segueix substituint X per Y mentre la valoració subjectiva (RMS) diferisca de la valoració objectiva del mercat (Px/Py); l’equilibri s’aconsegueix quan ambdues s’igualen, formalisme d’optimització condicionada introduït per Hicks-Allen (1934) que prescindeix de la utilitat cardinal.
Combinant amb la restricció pressupostària i resolent (resultat clàssic Cobb-Douglas amb exponents iguals: cada bé rep la meitat de la despesa):
En les preferències Cobb-Douglas U = x^α · y^β, la fracció de renda gastada en cada bé és constant (α/(α+β) i β/(α+β)). Ací α = β = 1, per tant cada bé absorbeix el 50% del pressupost.
Verificació de la restricció: 2·25 + 4·12,5 = 50 + 50 = 100€ ✓
(x*, y*) = (25; 12,5) | U* = 312,5
El consumidor gasta 50€ en X (25 ud × 2€) i 50€ en Y (12,5 ud × 4€), confirmant la regla Cobb-Douglas amb exponents iguals: el repartiment del pressupost és 50/50. La utilitat és ordinal: el valor 312,5 no té significat absolut, només permet comparar cistelles (Pareto, 1906).
Pas 1 — Nova cistella òptima (efecte total):
Pas 2 — Renda compensada de Slutsky: renda hipotètica que permetria comprar la cistella inicial als nous preus.
Pas 3 — Cistella intermèdia (amb nous preus i renda compensada):
Pas 4 — Descomposició:
Δx_total = −12,5 = ES (−6,25) + ER (−6,25)
Ambdós efectes són negatius: X és un bé normal i ordinari. L’ES és negatiu per la convexitat de les preferències (en encarir-se X se substitueix per Y); l’ER és negatiu perquè la pujada de Px redueix el poder adquisitiu i X és bé normal. La descomposició de Slutsky utilitza renda compensada nominal; l’alternativa de Hicks utilitzaria renda que manté la utilitat inicial (més exacta teòricament però menys operativa empíricament).