Tema 55

En la capitalización compuesta, los intereses se añaden al capital y generan nuevos intereses («interés sobre interés»). Es la base de las operaciones financieras a largo plazo:

Cuando la capitalización se realiza «en todo momento», se obtiene el límite continuo, tomando m → ∞ en la fórmula de la TAE:

Cₙ = C₀ · e^i·n, donde e ≈ 2,71828.

La capitalización continua es el caso límite de la capitalización compuesta cuando la frecuencia de liquidación tiende a infinito. La demostración parte de la fórmula (1 + i/m)^m·n y aplica la definición del número e: lím_m→∞ (1 + i/m)^m = eⁱ. Así, Cₙ = C₀ · e^i·n. La diferencia entre capitalización compuesta anual y continua es pequeña para tipos moderados: con i = 5 % y n = 1, la compuesta da 1,0500 y la continua 1,0513, diferencia de 13 pb. Para plazos largos (n = 30), la compuesta da 4,3219 y la continua 4,4817 — una diferencia apreciable.

Esta fórmula es la base de los modelos de valoración de opciones: el modelo de Black-Scholes (1973) — cuya derivación valió el Nobel de Economía a Merton y Scholes (Nobel 1997) — asume capitalización continua y movimiento browniano geométrico del precio del subyacente. Para el opositor, la relevancia práctica es doble: entender por qué los modelos de derivados usan tiempo continuo, y reconocer la capitalización continua como la fórmula límite unificadora de todos los sistemas discretos.

El TIN (Tipo de Interés Nominal) es el tipo anunciado contractualmente, sin considerar la frecuencia de capitalización ni las comisiones. Si la frecuencia de liquidación es m veces al año, el tipo efectivo por período es i_m = TIN/m.

Préstamo con TIN = 6 % liquidado mensualmente (m = 12): TAE = (1 + 0,06/12)¹² − 1 = 1,005¹² − 1 = 0,0617 = 6,17 %. La diferencia de 17 pb frente al TIN refleja el coste del anatocismo mensual.

Con comisión de apertura del 1 % sobre 10.000 €, el cálculo exacto se obtiene resolviendo la ecuación de equivalencia financiera. El banco entrega 10.000 − 100 = 9.900 € netos (o cobra 100 € el día 0). El prestatario devuelve cuotas mensuales calculadas sobre 10.000 €. La TAE es la tasa i que resuelve: 9.900 = Σ (cuota / (1+i/12)^k) para k = 1 a 60 (ejemplo a 5 años). La TAE resultante es aproximadamente 6,56 % — 39 pb más que sin comisión, lo que para una hipoteca de 200.000 € a 30 años supone una diferencia en el coste total de varios miles de euros.

En el contexto español, el Banco de España monitoriza la TAE de los nuevos préstamos hipotecarios. Según datos del BdE (2024), la TAE media de las hipotecas a tipo variable firmadas en 2023 fue del 5,8-6,2 %, frente al 1,3-1,8 % de 2021, reflejando íntegramente el impacto de la subida del Euribor. La transparencia de la TAE, exigida por la Ley 5/2019, permite comparar productos con estructuras de comisiones muy distintas en un solo número.

Según la cuantía de los términos: (a) Constante — todos los términos iguales; es el caso del préstamo hipotecario a tipo fijo con cuotas mensuales constantes, o de una pensión de jubilación a tipo fijo. (b) Variable — los términos difieren; pueden seguir una ley aritmética (incremento o decremento constante en euros: c, c+d, c+2d…) o geométrica (incremento o decremento porcentual constante: c, c·q, c·q²…); las pensiones revalorizadas con el IPC siguen una progresión geométrica con q = 1 + inflación.

Según la duración: (a) Temporal — duración finita, n períodos determinados; el préstamo hipotecario a 30 años es una renta temporal. (b) Perpetua — duración indefinida, n → ∞; las acciones preferentes sin vencimiento, las rentas vitalicias con esperanza de vida larga y las pensiones del Estado (si se modelan como flujos sin fecha de extinción) se tratan como perpetuas en la valoración.

Según el momento del pago: (a) Prepagable (anticipada, a priori) — el pago se realiza al inicio de cada período; ejemplo: el alquiler de una vivienda (se paga el mes por adelantado), los seguros anuales y los contratos de arrendamiento financiero (leasing). (b) Pospagable (vencida, a posteriori) — el pago se realiza al final del período; es el caso mayoritario: préstamos, obligaciones, cupones de bonos, nóminas.

Según el inicio: (a) Inmediata — el primer término coincide con el período siguiente a la fecha de valoración (t = 0 para la pospagable, t = 0 para la prepagable). (b) Diferida d períodos — el primer término se produce en t = d+1 (pospagable) o t = d (prepagable); el valor actual se calcula actualizando el valor de la renta inmediata d períodos adicionales: Va_diferida = Va_inmediata / (1+i)^d. (c) Anticipada d períodos — el primer término se produce en t = −d+1; implica capitalizar d períodos: Va_anticipada = Va_inmediata · (1+i)^d. Las rentas diferidas son frecuentes en los supuestos de planes de ahorro para la jubilación: las aportaciones comienzan hoy pero la renta se percibe en 20 años.

Para una renta prepagable, los importes se capitalizan un período más. Relación con pospagable:

V_a^pre = V_a^post · (1+i) ; V_f^pre = V_f^post · (1+i).

Variación aritmética: términos c, c+d, c+2d, …, c+(n-1)d. Se resuelve descomponiendo en una renta constante de cuantía c más una serie aritmética pura de d, 2d, …, (n-1)d. El valor actual es: Va = c · a_n;i + d · (a_n;i − n·(1+i)⁻ⁿ) / i. Ejemplo numérico: pensión con incremento aritmético anual de 200 €. Primer término c = 1.000 €, d = 200 €, n = 10 años, i = 4 %. a_10;4% = [1 − 1,04⁻¹⁰] / 0,04 = [1 − 0,6756] / 0,04 = 8,1109. Primer sumando: 1.000 × 8,1109 = 8.110,9 €. Segundo: 200 × (8,1109 − 10 × 0,6756) / 0,04 = 200 × (8,1109 − 6,756) / 0,04 = 200 × 33,877 = 6.775,3 €. Va total ≈ 14.886 €. La interpretación es directa: el valor presente de una pensión creciente es significativamente mayor que el de una pensión constante del mismo primer término, porque los términos futuros (que son mayores) pierden relativamente menos por el descuento temporal.

Variación geométrica: términos c, c·q, c·q², …, c·q^n-1, donde q = 1+g. Fórmula del valor actual cuando i ≠ g:

Va = c · [1 − (q/(1+i))ⁿ] / (i − g).

Si i = g: Va = n·c/(1+i). Ejemplo numérico con datos 2024: plan de pensiones con aportación inicial de 3.000 € anuales, crecimiento del 3 % anual (g = 0,03, aproximando la inflación objetivo del BCE), durante 25 años, rentabilidad esperada del fondo i = 5 %. Va = 3.000 · [1 − (1,03/1,05)²⁵] / (0,05 − 0,03) = 3.000 · [1 − 0,9810²⁵] / 0,02 = 3.000 · [1 − 0,6095] / 0,02 = 3.000 · 19,525 = 58.574 €. El valor final al año 25 se obtiene capitalizando: Vf = 58.574 · (1,05)²⁵ ≈ 198.900 € (valores redondeados a efectos pedagógicos). Este resultado ilustra la sensibilidad al tipo de rentabilidad del fondo: si i sube de 5 % a 7 % (escenario optimista de renta variable a largo plazo), el valor final se acerca a los 350.000 €.

Aplicación paradigmática: valoración de la empresa en el modelo DCF multi-etapa. El modelo estándar de Damodaran (2011) en Applied Corporate Finance contempla tres etapas: una fase de alto crecimiento (g₁ constante durante n₁ años, renta geométrica finita), una fase de transición y un valor terminal con perpetuidad creciente al ritmo g estable (Gordon-Shapiro). La formulación matemática exacta del valor terminal conecta directamente con la fórmula de perpetua creciente Va = c/(i−g) del §4.3. En los supuestos de oposición, el examinador a menudo propone el cálculo del valor de empresa por DCF con este esquema de dos etapas, exigiendo dominar simultáneamente la renta geométrica finita y la perpetuidad creciente.

Los planes de pensiones privados son rentas financieras en dos etapas: una renta de aportación (fase de acumulación, durante la vida laboral) seguida de una renta de prestación (fase de disposición, durante la jubilación). La fase de acumulación genera el valor final Vf = c · [(1+i)ⁿ − 1] / i (renta pospagable); la fase de disposición consume ese capital como renta temporal (Va = c · [1 − (1+i)⁻ⁿ] / i). Ejemplo detallado: aportación mensual de 200 € durante 30 años a un 4 % anual (tipo mensual i = 0,04/12 = 0,003333). Vf = 200 · [(1,003333)³⁶⁰ − 1] / 0,003333 = 200 · [3,3102 − 1] / 0,003333 = 200 · 693,1 ≈ 138.620 €. En el contexto español, los datos de la Dirección General de Seguros y Fondos de Pensiones (DGSFP, 2023) muestran que el patrimonio total en planes de pensiones individuales en España es de aproximadamente 87.000 M€, con una rentabilidad media anual ponderada del 3,5-4 % en los últimos 10 años — consistente con el ejemplo anterior. La reforma fiscal de 2021 redujo la deducción máxima en IRPF por aportaciones a planes de pensiones individuales de 8.000 € a 1.500 € anuales, desplazando el incentivo hacia los planes de empresa (deducción máxima 8.500 €), lo que tiene implicaciones directas en la planificación financiera personal.

Hipoteca de 200.000 € a 30 años, tipo 3,5 % anual nominal (TIN), cuotas mensuales, comisión apertura 1.000 €. Tipo mensual i = 0,035/12 = 0,002917. Cuota = 200.000 · 0,002917 / (1 − 1,002917⁻³⁶⁰) = 200.000 · 0,002917 / 0,6497 ≈ 898 €/mes. Total pagado a 30 años: 898 × 360 = 323.280 €. Total de intereses: 323.280 − 200.000 = 123.280 €. TAE (con comisión): requiere iterar la ecuación de equivalencia con capital neto recibido = 200.000 − 1.000 = 199.000 €. Aproximadamente TAE ≈ 3,61 %.

Este ejemplo pone en perspectiva la dinámica del Euribor 2022-2024: en enero de 2022, el Euribor 12 meses era −0,49 %; en octubre de 2023 alcanzó el máximo de 4,16 %; en mayo de 2024 se sitúa en torno al 3,8 % con expectativas de bajada. Para una hipoteca variable de 200.000 € a 30 años con diferencial de +0,75 %, el tipo aplicado pasó de un mínimo histórico de 0,26 % (enero 2022) a 4,91 % (octubre 2023), con las cuotas mensuales pasando de unos 640 €/mes a 1.062 €/mes — un incremento de 422 €/mes o 5.064 €/año. Según datos del INE y el BdE, más de 2 millones de hipotecas españolas a tipo variable referenciadas al Euribor 12 meses han sufrido este ajuste. La comprensión de la matemática financiera de este tema es, literalmente, de relevancia cívica masiva.

Conviene añadir el análisis de sensibilidad al tipo de interés: la cuota mensual del sistema francés para 200.000 € a 30 años es: 640 € (i = 1 %), 898 € (i = 3,5 %), 1.073 € (i = 5 %), 1.199 € (i = 6 %), 1.330 € (i = 7 %). La relación es cóncava creciente: cada punto adicional de tipo tiene mayor impacto cuota desde niveles altos. Esto explica por qué las políticas de tipos de interés del BCE tienen un efecto desproporcionado sobre el sector hipotecario español —con mayor porcentaje de hipotecas variables que la media europea— y conecta con los contenidos del Tema 48 (política monetaria) y Tema 51 (mercado de crédito).