Supuesto 5
Enunciado
Una sociedad emite un empréstito de obligaciones simples para financiar una ampliación industrial con las siguientes características:
- Valor nominal: 1.000€ por título
- Cupón anual: 5% (50€/año)
- Vencimiento: 5 años (devolución del nominal en t = 5)
- Modalidad de amortización: bullet (única al vencimiento)
El precio de mercado del bono se ajusta al valor actual de los flujos descontados al tipo de interés exigido por los inversores. Esta es la idea central de la teoría del valor de los bonos (Macaulay, 1938; Fisher, 1930).
Se pide:
- Si el tipo de interés de mercado para riesgo equivalente es i = 4%, calcula el precio de la obligación.
- Si i sube al 6% (por endurecimiento de la política monetaria del BCE), calcula el nuevo precio.
- Calcula la duración de Macaulay (vencimiento medio ponderado de los flujos) en el escenario inicial.
- Explica la relación inversa precio-tipo de interés y el concepto de riesgo de tipo de interés.
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El precio teórico de un bono es la suma del valor actual de sus flujos contractuales (cupones + nominal final), descontados al tipo de interés exigido por el mercado para riesgo equivalente. Es una aplicación directa del principio de no arbitraje y de la fórmula de Fisher (1930) sobre el valor temporal del dinero.
Para i = 4%, los flujos a descontar son: 50€ (años 1-4) y 1.050€ (año 5, cupón + nominal).
El bono cotiza al 104,45% del nominal: sobre la par. Lógico: ofrece un cupón (5%) superior al tipo exigido por el mercado (4%), por lo que el inversor está dispuesto a pagar una prima.
P (i = 4%) = 1.044,52€ — sobre la par
Mismo cálculo con i = 6%. Cuando el tipo de mercado supera el cupón, el bono debe abaratarse para que su rentabilidad efectiva (TIR) iguale al 6%; en caso contrario, ningún inversor lo compraría. La caída de precio es la otra cara del aumento de tipos exigidos.
P (i = 6%) = 957,88€ — bajo la par (95,79%)
Variación de precio entre ambos escenarios: 957,88 − 1.044,52 = −86,64€ (−8,29%) por una subida de 200 pb. Esto es el riesgo de tipo de interés del bono.
La duración de Macaulay (1938) es el plazo medio ponderado de recuperación del capital invertido, donde los pesos son el valor actual de cada flujo. Se mide en años y es siempre menor o igual que el vencimiento (igual sólo en bonos cupón cero).
Calculamos el numerador acumulando t · VA(FCₜ) con los valores actuales obtenidos en a):
D ≈ 4,56 años
La duración de Macaulay (1938) mide el plazo medio durante el que el inversor recupera su inversión en términos de valor actual. Es también una medida de la sensibilidad del precio del bono ante cambios en i: ΔP/P ≈ −D · Δi/(1+i), expresión conocida como duración modificada. Para nuestro bono: D_mod = 4,557/1,04 = 4,38; ante una subida de 100 pb, se predice una caída del precio del 4,38%. El valor real al pasar de 4% a 5% es −4,33%, muy próximo al estimado por la aproximación lineal.
La relación entre i y precio del bono es inversa y matemáticamente exacta: el precio es la suma descontada de flujos fijos. Si sube el tipo de descuento, baja el valor presente. Tres reglas prácticas (regla del cupón vs. mercado):
• Cupón mayor que i → precio sobre la par (el bono ofrece más que el mercado pide).
• Cupón menor que i → precio bajo la par.
• Cupón igual a i → precio = nominal.
Riesgo de tipo de interés: variación del precio del bono ante movimientos de i. Es proporcional a la duración modificada y, por tanto, mayor para bonos largos y de cupón bajo. Es relevante para fondos de inversión, planes de pensiones e inmovilizaciones bancarias. Caso paradigmático reciente: Silicon Valley Bank (SVB, marzo 2023), cuyas pérdidas latentes en cartera de bonos a tipo fijo, materializadas tras las subidas agresivas de la Fed, desencadenaron la crisis de confianza y la quiebra. La gestión de este riesgo se hace mediante duration matching y immunization (Redington, 1952).