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Supuesto 15

Tema 31 · Cataluña ·
Supuesto 15 · Tema 31 · Cataluña ·

Enunciado

Una sociedad emite un empréstito de obligaciones simples para financiar una ampliación industrial con las siguientes características:

  • Valor nominal: 1.000€ por título
  • Cupón anual: 5% (50€/año)
  • Vencimiento: 5 años (devolución del nominal en t = 5)
  • Modalidad de amortización: bullet (única al vencimiento)

El precio de mercado del bono se ajusta al valor actual de los flujos descontados al tipo de interés exigido por los inversores. Esta es la idea central de la teoría del valor de los bonos (Macaulay, 1938; Fisher, 1930).

Se pide:

  1. Si el tipo de interés de mercado para riesgo equivalente es i = 4%, calcula el precio de la obligación.
  2. Si i sube al 6% (por endurecimiento de la política monetaria del BCE), calcula el nuevo precio.
  3. Calcula la duración de Macaulay (vencimiento medio ponderado de los flujos) en el escenario inicial.
  4. Explica la relación inversa precio-tipo de interés y el concepto de riesgo de tipo de interés.
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a) Precio con i = 4% (tipo menor que cupón)
P = Σ Cupón/(1+i)^t + Nominal/(1+i)^n
P = 50/1,04 + 50/1,04² + 50/1,04³ + 50/1,04⁴ + 1.050/1,04⁵
P = 48,08 + 46,23 + 44,45 + 42,74 + 863,02
P = 1.044,52€ → cotiza SOBRE LA PAR (104,45%)
Resultado

P (i=4%) = 1.044,52€ — sobre la par

b) Precio con i = 6% (tipo mayor que cupón)
P = 50/1,06 + 50/1,06² + 50/1,06³ + 50/1,06⁴ + 1.050/1,06⁵
P = 47,17 + 44,50 + 41,98 + 39,60 + 784,63
P = 957,88€ → cotiza BAJO LA PAR (95,79%)
Resultado

P (i=6%) = 957,88€ — bajo la par

c) Duración de Macaulay (i = 4%)

Vencimiento medio ponderado de los flujos por su valor actual:

D = Σ [t · VA(FC_t)] / P
D = (1·48,08 + 2·46,23 + 3·44,45 + 4·42,74 + 5·863,02) / 1.044,52
D = (48,08 + 92,46 + 133,35 + 170,96 + 4.315,10) / 1.044,52 ≈ 4,55 años
Resultado

D ≈ 4,55 años

Interpretación

La duración de Macaulay (1938) mide el plazo medio durante el que el inversor recupera su inversión en términos de valor actual. Es también una medida de la sensibilidad del precio del bono ante cambios en i: ΔP/P ≈ −D · Δi/(1+i) (duración modificada).

d) Relación inversa y riesgo de tipo de interés
Interpretación

La relación entre i y precio del bono es inversa y matemáticamente exacta: el precio es la suma descontada de flujos fijos. Si sube el tipo de descuento, baja el valor presente.

• Cupón mayor que i → precio sobre la par (el bono ofrece más que el mercado pide).

• Cupón menor que i → precio bajo la par.

• Cupón igual a i → precio = nominal.

Riesgo de tipo de interés: variación del precio del bono ante movimientos de i. Es mayor cuanto mayor la duración. Es relevante para fondos de inversión, planes de pensiones e inmovilizaciones bancarias (caso SVB 2023: pérdidas latentes en cartera de bonos a tipo fijo cuando la Fed subió tipos).