Supuesto 13
Enunciado
Un trabajador autónomo planifica su jubilación y contrata un plan de pensiones que garantiza un flujo anual constante de 3.000€ durante 10 años, con una rentabilidad técnica del 5% anual.
Las rentas constantes son una de las herramientas más usadas en planificación financiera personal y en valoración de activos (planes de pensiones, alquileres, dividendos preferentes). Distinguimos entre postpagables (cobro/pago al final de cada periodo, lo habitual en hipotecas) y prepagables (al inicio, típico en alquileres).
Se pide:
- Calcula el valor actual (VA) y el valor final (VF) de la renta como postpagable.
- Calcula el VA y VF si fuese prepagable (anticipada).
- Si fuese una renta perpetua postpagable de 3.000€/año, calcula su VA y compáralo con la renta finita.
- ¿Qué precio máximo pagaría hoy un inversor por adquirir esta renta postpagable?
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VA = 23.165,20€ | VF = 37.733,68€
Verificación: VF = VA · (1+i)ⁿ → 23.165,20 · 1,6289 = 37.733,68 ✓
Una renta prepagable adelanta cada pago un periodo respecto a la postpagable. Para igual a, n e i:
VA’ = 24.323,46€ | VF’ = 39.620,36€
La renta prepagable vale exactamente un 5% más (factor 1+i). Es matemáticamente coherente: cada flujo se cobra/paga un año antes, por lo que cada uno vale (1+i) veces más en valor actual.
VA perpetua = 60.000€
La renta perpetua vale 60.000€, pero la renta a 10 años solo 23.165€ (38,6% de la perpetua). El motivo: los flujos descontados a partir del año 11 contribuyen relativamente poco. Los primeros 10 años aportan el 38,6% del valor total perpetuo, lo que ilustra la potencia del descuento exponencial en horizontes largos.
Esta misma fórmula (a/i) sustenta la valoración por Gordon-Shapiro de empresas con dividendo creciente: P = D₁ / (k − g).
Un inversor racional pagaría como máximo el valor actual al tipo de su coste de oportunidad (5%): 23.165,20€. Si pagara más, la TIR efectiva caería por debajo del 5% y otra inversión alternativa al 5% sería preferible.
Precio máximo = 23.165,20€