Supuesto 1
Enunciado
Un trabajador autónomo planifica su jubilación y contrata un plan de pensiones que garantiza un flujo anual constante de 3.000€ durante 10 años, con una rentabilidad técnica del 5% anual.
Las rentas constantes son una de las herramientas más usadas en planificación financiera personal y en valoración de activos (planes de pensiones, alquileres, dividendos preferentes). Distinguimos entre postpagables (cobro/pago al final de cada periodo, lo habitual en hipotecas) y prepagables (al inicio, típico en alquileres).
Se pide:
- Calcula el valor actual (VA) y el valor final (VF) de la renta como postpagable.
- Calcula el VA y VF si fuese prepagable (anticipada).
- Si fuese una renta perpetua postpagable de 3.000€/año, calcula su VA y compáralo con la renta finita.
- ¿Qué precio máximo pagaría hoy un inversor por adquirir esta renta postpagable?
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Una renta postpagable, vencida o ordinary annuity es una sucesión de flujos iguales que se hacen efectivos al final de cada periodo. Es la convención por defecto en España (préstamos hipotecarios, planes de pensiones, dividendos). El valor actual se obtiene descontando geométricamente cada uno de los n flujos al tipo i; la fórmula compacta es la suma de la progresión geométrica (Suárez Suárez, Decisiones óptimas de inversión y financiación):
Sustituimos a = 3.000€, i = 0,05, n = 10. Calculamos primero el factor de actualización, también llamado annuity factor:
Para el valor final aplicamos la fórmula análoga (factor de capitalización de una renta):
VA = 23.165,20€ | VF = 37.733,68€
Verificación de coherencia financiera (VF debe ser igual a VA capitalizado n años):
Una renta prepagable o anticipada (annuity-due) adelanta cada flujo un periodo respecto a la postpagable: el primer cobro se produce en t = 0 en lugar de t = 1. Es típica en alquileres y leasings. Como cada flujo está disponible un año antes, gana un periodo de capitalización; en valor actual y valor final, el factor multiplicador es (1 + i):
VA’ = 24.323,46€ | VF’ = 39.620,36€
La renta prepagable vale exactamente un 5% más (factor 1+i). Es matemáticamente coherente: cada flujo se cobra/paga un año antes, por lo que cada uno vale (1+i) veces más en valor actual. Esta diferencia es relevante cuando se comparan productos comerciales (planes de pensiones que abonan al inicio del año vs al final) o cuando se negocia el momento de pago en un contrato de arrendamiento.
Cuando n → ∞, el factor de actualización [1 − (1+i)⁻ⁿ]/i tiende a 1/i, y se obtiene la fórmula clásica de la renta perpetua, base del modelo de valoración de Gordon (The Investment, Financing, and Valuation of the Corporation, 1962):
VA perpetua = 60.000€
Comparación con la renta finita: 23.165,20 / 60.000 = 38,6%. Es decir, los 10 primeros pagos aportan menos del 39% del valor de los infinitos pagos.
La renta perpetua vale 60.000€, pero la renta a 10 años solo 23.165€ (38,6% de la perpetua). El motivo: los flujos descontados a partir del año 11 contribuyen relativamente poco a un tipo del 5%. Los primeros 10 años aportan ya el 38,6% del valor total perpetuo, y a partir del año 30 la contribución marginal de cada nuevo flujo es prácticamente despreciable. Esto ilustra la potencia del descuento exponencial en horizontes largos. La misma mecánica sustenta la valoración de Gordon-Shapiro (1956) de empresas con dividendo creciente: P = D₁ / (k − g), pieza fundamental del análisis fundamental bursátil.
Por arbitraje y coste de oportunidad: si el inversor tiene una alternativa de mercado al 5% para riesgo equivalente, el precio máximo que pagará por la renta es el VA descontado a ese 5%. Pagar más implicaría una TIR efectiva inferior al 5% y, por tanto, una opción dominada por la alternativa de mercado.
Precio máximo = 23.165,20€
Este precio coincide con el principio de no arbitraje de Modigliani-Miller (1958): el valor de un activo es la suma descontada de sus flujos al tipo de su coste de oportunidad. Si el mercado cotiza la renta por debajo de 23.165,20€, el inversor obtiene rentabilidad extraordinaria; si lo hace por encima, debería rechazarla y conservar la alternativa al 5%.