Examen modelo de Economía: microeconomía y matemáticas financieras (resuelto)

Un supuesto práctico modelo de la prueba práctica de las oposiciones de Economía de Secundaria reproduce el tipo de ejercicios que plantea el tribunal —teoría del consumidor, matemáticas financieras, selección de inversiones— resueltos paso a paso. El de abajo es un ejercicio de muestra de elaboración propia: ilustra el formato y el método, pero no corresponde a ninguna convocatoria real.

Enunciado

Ejercicio 1 — Teoría del consumidor

Un consumidor tiene la función de utilidad U(x, y) = x · y. Los precios son Pₓ = 2 € y P_y = 4 €, y su renta es M = 40 €.

1. Obtenga las funciones de demanda de los bienes x e y.
2. Determine la cesta óptima (x*, y*) y la utilidad alcanzada.
3. Represente gráficamente el equilibrio del consumidor.
4. Calcule la elasticidad-precio de la demanda de x, la elasticidad-renta y la elasticidad cruzada de x respecto a P_y. Interprete cada resultado.
5. Si Pₓ sube a 4 €, halle la nueva cesta óptima y relacione el resultado con la elasticidad-precio.

Ejercicio 2 — Selección de inversiones (VAN y TIR)

Una empresa estudia un proyecto con un desembolso inicial de 1.000 € que genera flujos de caja de 500 € al final de cada uno de los tres años siguientes. El coste de capital es k = 10 %.

1. Calcule el VAN del proyecto e indique si es efectuable.
2. Calcule la TIR por interpolación lineal e interprétela respecto a k.
3. Represente el perfil del VAN.

Solución comentada

Ejercicio 1

1) Funciones de demanda. El consumidor maximiza la utilidad sujeto a su restricción presupuestaria. En el óptimo, la relación marginal de sustitución se iguala al cociente de precios (la curva de indiferencia es tangente a la recta de balance):

De la condición de tangencia, P_y · y = Pₓ · x. Sustituyendo en la restricción presupuestaria Pₓ · x + P_y · y = M se obtiene Pₓ · x + Pₓ · x = M, es decir 2 · Pₓ · x = M. Despejando:

2) Cesta óptima. Sustituyendo los datos:

• x* = 40 / (2 · 2) = 10 unidades
• y* = 40 / (2 · 4) = 5 unidades

Comprobación con el presupuesto: 2 · 10 + 4 · 5 = 20 + 20 = 40 € ✓. La utilidad alcanzada es U = 10 · 5 = 50.

3) Representación gráfica. La recta de balance es 2x + 4y = 40, es decir y = 10 − 0,5x (corta los ejes en x = 20 y en y = 10). La curva de indiferencia del óptimo es U = 50, es decir y = 50 / x. Ambas son tangentes en E(10, 5).

4) Elasticidades. Partimos de la demanda x = M / (2·Pₓ).

• Elasticidad-precio de x: como x = (M/2) · Pₓ⁻¹, su elasticidad es constante e igual a −1. La demanda es de elasticidad unitaria: una variación porcentual del precio provoca la misma variación porcentual (de signo contrario) en la cantidad.
• Elasticidad-renta de x: x es proporcional a M, luego la elasticidad-renta vale +1. Es un bien normal con preferencias homotéticas (la demanda crece en la misma proporción que la renta).
• Elasticidad cruzada de x respecto a P_y: la demanda de x no depende de P_y, de modo que la elasticidad cruzada es 0. En la Cobb-Douglas los bienes son independientes (ni sustitutivos ni complementarios): el efecto sustitución y el efecto renta se compensan.

5) Subida de Pₓ a 4 €. La nueva cesta es x*’ = 40 / (2 · 4) = 5 e y*’ = 40 / (2 · 4) = 5 (y no varía, pues no depende de Pₓ). El precio se ha duplicado (×2) y la cantidad demandada de x se ha reducido a la mitad (÷2): la variación proporcional es idéntica, lo que confirma la elasticidad-precio unitaria (|ε| = 1). Además, el gasto en x se mantiene constante: 2 · 10 = 20 € = 4 · 5 (propiedad de la Cobb-Douglas).

La curva de demanda de x es x = 20 / Pₓ, una hipérbola equilátera: el área del rectángulo Pₓ · x (el gasto) es constante e igual a 20 € en todos sus puntos, rasgo característico de la elasticidad unitaria.

Ejercicio 2

1) VAN. El valor actual neto descuenta los flujos al coste de capital y resta el desembolso inicial:

VAN = −1.000 + 500/1,1 + 500/1,1² + 500/1,1³

• 500 / 1,1 = 454,55 €
• 500 / 1,21 = 413,22 €
• 500 / 1,331 = 375,66 €

VAN = (454,55 + 413,22 + 375,66) − 1.000 = 1.243,43 − 1.000 = +243,43 €.

Como VAN > 0, el proyecto es efectuable: crea valor por encima del coste de capital exigido.

2) TIR. La TIR es la tasa r que anula el VAN. Como no es despejable de forma directa, se calcula el VAN a dos tasas y se interpola linealmente:

• VAN(20 %) = 500/1,2 + 500/1,44 + 500/1,728 − 1.000 = 1.053,24 − 1.000 = +53,24 €
• VAN(25 %) = 500/1,25 + 500/1,5625 + 500/1,953125 − 1.000 = 976,00 − 1.000 = −24,00 €

La TIR está entre el 20 % (VAN positivo) y el 25 % (VAN negativo):

Como TIR ≈ 23,4 % > k = 10 %, el proyecto es efectuable, en coherencia con el VAN positivo. Para un proyecto simple de inversión ambos criterios siempre coinciden; pueden discrepar al comparar proyectos mutuamente excluyentes (intersección de Fisher).

3) Perfil del VAN. El VAN decrece con la tasa de descuento y corta el eje horizontal justo en la TIR.

Conclusión. El proyecto crea valor: VAN = +243,43 € y TIR ≈ 23,4 %, muy por encima del coste de capital del 10 %. Ambos criterios recomiendan aceptar la inversión.