Tema 56
Préstecs: mètodes d'amortització. Emprèstits. Usdefruit i nua propietat.
Introducció
Els préstecs i emprèstits són els instruments clàssics de finançament a mitjà i llarg termini. Els primers són bilaterals (un prestador, un prestatari); els segons, col·lectius (emissor únic, múltiples obligacionistes). Dominar els seus sistemes d’amortització i les seues equivalències financeres és imprescindible per a qualsevol analista, directiu o docent d’economia.
A Espanya, el mercat hipotecari —regulat per la Llei 5/2019— representa un 47 % del PIB i afecta més de 5 milions de llars. Les empreses cotitzades mobilitzen emissions anuals superiors a 40.000 M€ al mercat de capitals (BME, 2023). Entendre com es construeixen aquests instruments és una competència cívica i professional crucial.
Aquest tema tanca el Bloc F i aprofundeix en: (1) préstecs i mètodes d’amortització; (2) sistema francès; (3) sistema americà i italià; (4) emprèstits; (5) usdefruit i nua propietat.
1. Préstecs: concepte i classificacions
1.1. Definició jurídica i financera
El préstec és el contracte pel qual una part (prestador) lliura a l’altra (prestatari) una quantitat de diners, comprometent-se aquesta a tornar-la en un termini, junt amb els interessos pactats. Regulat pel Codi Civil (art. 1753-1757) i, en el cas del crèdit al consum o hipotecari, per lleis específiques: Llei 16/2011 i Llei 5/2019.
1.2. Classificacions
Per les garanties: personal (aval), hipotecari (finca), pignoratícia (béns mobles).
Per termini: curt (menys d’1 any), mitjà (1-5 anys), llarg (més de 5 anys).
Per destinació: consum, habitatge, empresa, vehicle, estudis.
Per tipus d’interès: fix, variable (Euríbor + diferencial), mixt.
Per moneda: en euros o en divisa (amb risc de tipus de canvi).
Classificació de préstecs
Cinc dimensions de classificació simultànies
1.3. Elements del préstec
• Capital (C): import prestat.
• Tipus d’interès (i): nominal o efectiu periòdic.
• Termini (n): nombre de períodes.
• Quota (c): pagament periòdic. Composta per dues parts: interès del període (I_k = i·C_pendent) i amortització del principal (A_k = c - I_k).
• Quadre d’amortització: taula que mostra, per a cada període: quota, interès, amortització i capital pendent.
2. Sistema francès (quotes constants)
Composició de la quota
Quota periòdica = Interès del període + Amortització del principal
2.1. Característiques
El sistema francès (també anomenat progressiu o de termes amortitzats constants) és el més utilitzat a Espanya. Característica: les quotes periòdiques són constants. Com que el capital pendent va disminuint, la part d’interessos cau cada període i la d’amortització creix.
2.2. Exemple numèric
Préstec de 10.000 € a 3 anys, i = 5 % anual, quotes anuals pospagables.
c = 10.000 · 0,05 / [1 - 1,05⁻³] = 500 / 0,13616 = 3.672,09 €.
Quadre d’amortització:
Any 1: I₁ = 10.000·0,05 = 500 € ; A₁ = 3.672,09 - 500 = 3.172,09 € ; Pendent = 6.827,91 €.
Any 2: I₂ = 6.827,91·0,05 = 341,40 € ; A₂ = 3.330,69 € ; Pendent = 3.497,22 €.
Any 3: I₃ = 3.497,22·0,05 = 174,86 € ; A₃ = 3.497,22 € ; Pendent = 0 €. ✓
Quadre d'amortització — Sistema francès
10.000 € a 3 anys, i = 5 % anual · quota constant = 3.672,09 €
| Interès (I_k) | Amortització (A_k) | Capital pendent | |
|---|---|---|---|
| Any 1 | 500,00 € (10.000 × 5 %) | 3.172,09 € | 6.827,91 € |
| Any 2 | 341,40 € (6.827,91 × 5 %) | 3.330,69 € | 3.497,22 € |
| Any 3 | 174,86 € (3.497,22 × 5 %) | 3.497,23 € | 0 € ✓ |
| TOTAL | 1.016,26 € (total interessos pagats) | 10.000,00 € | — |
2.3. Fórmules per calcular l'amortització
Per al període k:
A_k = A_1 · (1+i)^(k-1) (progressió geomètrica).
A_1 = c · (1+i)⁻ⁿ (primera quota d’amortització).
Capital pendent en el període k: C_k = c · [1 - (1+i)^(k-n)] / i.
Sistema francès · barres apilades
Descomposició de la quota constant en interessos i amortització
3. Sistema americà i italià
3.1. Sistema americà
El sistema americà (o de quota d’interès constant) es caracteritza perquè durant tota la vida del préstec es paguen només interessos i, al venciment, s’amortitza el capital íntegrament. Paral·lelament, el prestatari constitueix un fons de reintegració o sinking fund amb aportacions periòdiques que, capitalitzades, reuneixen el capital al venciment.
És poc habitual a Espanya per a préstecs al particular, però existeix en algunes emissions d’obligacions i en finançament estructurat.
Quota d’interessos anual: I = C · i.
Aportació al sinking fund (a interès i’): a = C · i’ / [(1+i’)ⁿ - 1].
Cost total anual: I + a.
Sistema americà · sinking fund
Cicle del préstec americà amb fons de reintegració
3.2. Sistema italià
El sistema italià (o lineal, o d’amortització constant) es caracteritza perquè la quota d’amortització és fixa. Com que els interessos baixen amb el capital pendent, les quotes totals són decreixents.
Amortització constant: A = C / n.
Quota del període k: c_k = A + i · C_‘k-1’ = A + i · [C - (k-1)·A].
Avantatge: es paga més al principi, menys al final. Total d’interessos inferior al sistema francès.
3.3. Comparativa
Exemple: préstec 10.000 € a 3 anys al 5 %.
• Francès: quotes constants 3.672 €. Total interessos: 1.016 €.
• Italià: quotes 3.833, 3.667, 3.500. Total interessos: 1.000 €.
• Americà (només interessos): 500, 500, 10.500. Total interessos si no hi ha sinking fund: 1.500 €.
Si es constitueix sinking fund al 4 %, el cost total efectiu puja. Els sistemes amb amortització ràpida (italià) paguen menys interessos totals.
Comparativa de sistemes
Perfil de quotes: francès vs italià vs americà
4. Emprèstits (bons i obligacions)
4.1. Concepte
L’emprèstit és un préstec de gran quantia fragmentat en parts iguals anomenades obligacions o bons, que l’empresa o l’Estat emet al mercat de capitals. Cada obligació representa una fracció del deute. Regulats per RDLeg 1/2010 (LSC, art. 401-410) i, en el cas públic, pel Tresor Públic.
4.2. Elements
• Valor nominal (VN): base del càlcul d’interessos.
• Valor d’emissió (VE): pot ser a la par (=VN), sota la par (prima d’emissió, VE menor que VN) o sobre la par (agi).
• Valor de reembors (VR): el que paga l’emissor al venciment. Pot ser a la par o amb prima.
• Cupó: interès periòdic explícit. Pot ser fix, variable, zero (s’emet al descompte).
• Termini: curt (menys de 2 anys), mitjà (2-7), llarg (més de 7).
Elements de l'emprèstit
VN, VE, VR, cupó i termini: cinc dades que defineixen un bo
| Element | Definició | Casos típics |
|---|---|---|
| Valor Nominal (VN) | Base del càlcul d'interessos | Habitualment 1.000 € per títol |
| Valor d'Emissió (VE) | El que paga el subscriptor | A la par (=VN), sota la par (prima d'emissió), sobre la par (agi) |
| Valor de Reemborsament (VR) | El que torna l'emissor al venciment | A la par o amb prima de reemborsament |
| Cupó | Interès periòdic explícit | Fix, variable, cupó zero |
| Termini | Venciment | CT < 2 anys · MT 2-7 · LT > 7 |
4.3. Rendibilitat al venciment (YTM)
La rendibilitat al venciment (Yield To Maturity) és la TIR de l’obligació, el tipus que iguala VA fluxos (cupons + reembors) amb el preu pagat:
P₀ = Σ_k [Cupó / (1+YTM)^k] + VR / (1+YTM)ⁿ.
Fluxos d'un bo — càlcul de la YTM
Estructura temporal d'una obligació: cupons periòdics + valor de reemborsament al venciment
4.4. Tipus d'obligacions
• Bons sobirans: emesos per l’Estat (Bons, Obligacions del Tresor, BOE 10 anys tradicional).
• Corporate bonds: d’empreses. Amb rating (AAA, AA, A, BBB, junk).
• Convertibles: poden transformar-se en accions.
• Bons cupó zero: emesos al descompte, sense cupons intermedis.
• Green bonds: finançament de projectes ambientals (Iberdrola ha emès per més de 20.000 M€).
• CoCos (Contingent Convertibles): usats per bancs com a capital addicional de nivell 1 (AT1).
• Covered bonds (cèdules hipotecàries): amb garantia hipotecària.
Tipus d'obligacions
7 tipus de bo: emissor, garantia, risc relatiu i exemple espanyol/europeu
| Emissor típic | Garantia / Característica | Risc relatiu | Exemple | |
|---|---|---|---|---|
| Bo sobirà | Estat | Suport del Tresor. Sense garantia real específica. | Baix (depén del rating del país) | Bo del Tresor ES a 10 anys; Bund alemany a 10 anys |
| Corporate bond | Empresa | Sense garantia específica (senior unsecured). | Mitjà-alt segons rating | Telefónica 2030; BBVA 2028 |
| Convertible | Empresa | Opció de conversió en accions a preu fix. | Mitjà (hibridació deute-equity) | Acciona, IAG en moments de dilució estratègica |
| Cupó zero | Estat o empresa | Emés al descompte; no paga cupons intermedis. | Duració = venciment (màxima sensibilitat) | STRIPs del Tresor espanyol |
| Green bond | Estat, empresa o supranacional | Ús de fons en projectes verds verificats. | Semblant a l'equivalent convencional | Iberdrola (>20.000 M€ emesos); ICO green bond |
| CoCo (AT1) | Banc | Es convertix en accions o s'amortitza si el capital cau per davall del llindar. | Alt (l'AT1 és l'últim abans de l'equity) | BBVA AT1 2023; Santander CoCo |
| Covered bond (cèdula) | Banc | Garantia de cartera hipotecària segregada. | Baix (doble recurs) | Cèdules hipotecàries Santander, CaixaBank |
4.5. Mercats espanyols i europeus. Bons ESG i MiCA
• Mercat AIAF: mercat secundari de renda fixa espanyol, integrat en BME i en la infraestructura de mercat europea (T2S). • MARF (Mercat Alternatiu de Renda Fixa): per a mitjanes empreses; ha mobilitzat més de 10.000 M€ des de la seua creació el 2013 i permet a empreses amb facturació des de 50 M€ accedir directament al mercat de capitals sense necessitat de rating extern. • SEND: plataforma electrònica de negociació minorista de renda fixa. • Eurobond market: mercat europeu de renda fixa internacional, amb volums d’emissió anuals superiors a 1 bilió d’euros.
L’auge dels bons ESG (Environmental, Social, Governance) és el fenomen més rellevant del mercat de renda fixa el 2020-2024. Els green bonds —emesos per a finançar projectes amb benefici mediambiental verificable segons els Green Bond Principles d’ICMA— han arribat a Europa a volums d’emissió anuals superiors a 300.000 M€ (2023). Espanya és un dels mercats més grans: l’ICO, el Tresor Públic (que va emetre el seu primer bo sobirà verd el 2021 per 5.000 M€) i Iberdrola (l’emissora corporativa verda més activa del món, amb més de 20.000 M€ en verd) són els tres emissors de referència. El concepte de greenium —prima de preu positiva per als bons verds respecte dels bons convencionals del mateix emissor i termini, que implica un tipus d’interès menor per a l’emissor— és objecte de debat acadèmic: estudis recents (BCE, 2021; Zerbib, 2019) documenten greeniums de 2-8 pb per a bons sobirans verds europeus. La regulació europea dels European Green Bond Standards (EuGBS), en vigor des del 2024, establix un marc harmonitzat i exigent per a la verificació de l’ús dels fons, amb l’objectiu de reduir el greenwashing.
En l’àmbit dels actius digitals, el Reglament MiCA (Markets in Crypto-Assets, Reglament UE 2023/1114, en vigor des del desembre del 2024) crea el primer marc europeu harmonitzat per als criptoactius. MiCA distingix entre asset-referenced tokens (avalats per una cistella d’actius), e-money tokens (avalats 1:1 per una divisa) i la resta de criptoactius (com Bitcoin o Ether). Per al mercat de renda fixa, la rellevància de MiCA està en la tokenització de bons: diversos emissors europeus (BEI, Santander, SocGen) han explorat l’emissió de bons en blockchain sota el marc del règim pilot DLT de la UE (Reglament 2022/858), que permet la liquidació de valors tokenitzats en infraestructures de registre distribuït. Si la tokenització arriba a massa crítica, transformarà la microestructura del mercat de renda fixa en reduir els temps de liquidació (de T+2 a potencialment T+0) i els costos de custòdia.
5. Usdefruit i nua propietat
5.1. Concepte
En determinades operacions financeres, immobiliàries o successòries, la titularitat plena sobre un bé es pot desdoblar en dos drets distints i simultanis, que poden pertànyer a persones diferents:
Usdefruit: dret real a percebre els rendiments o usar el bé durant un període determinat o de forma vitalícia. L’usufructuari pot arrendar el bé, percebre els fruits civils (rendes, dividends) i, en general, obtindre el rendiment econòmic sense consumir el bé. Regulat pels articles 467-522 del Codi Civil.
Nua propietat: dret de propietat sense dret d’ús ni gaudi mentre dure l’usdefruit. El nu propietari té la titularitat jurídica del bé però no el pot usar ni gaudir. En extingir-se l’usdefruit (per defunció de l’usufructuari o compliment del termini), la nua propietat es convertix en plena propietat sense pagament addicional. Regulat pels articles 534-614 del Codi Civil.
La suma del valor de l’usdefruit i de la nua propietat és sempre igual al valor de la plena propietat: VP = VU + VNP. Esta identitat és la base tant del tractament fiscal (ITP AJD) com de la valoració financera.
5.2. Valoració de l'usdefruit
El Reial Decret Legislatiu 1/1993 (ITP AJD) i el seu Reglament establixen regles fiscals de valoració de l’usdefruit per a determinar la base imposable en transmissions oneroses i donacions:
Usdefruit temporal: 2 % del valor total del bé per cada any de durada, amb un màxim del 70 %. Exemple: usdefruit temporal de 10 anys sobre un bé de 100.000 € → valor de l’usdefruit = 2 % × 10 = 20 %. Valor: 20.000 €. Nua propietat: 80.000 €.
Usdefruit vitalici: el valor de l’usdefruit es calcula com a 89 % menys l’edat de l’usufructuari, amb un mínim del 10 % i un màxim del 70 %. Equivalentment: si l’usufructuari té menys de 20 anys → 70 %; per cada any addicional es resta 1 punt; si té 79 anys o més → 10 %. Exemple: usdefruit vitalici per a una persona de 65 anys sobre 100.000 € → valor usdefruit = (89 − 65) = 24 %. Valor: 24.000 €. Nua propietat: 76.000 €.
Des de la perspectiva financera (valoració econòmica, no fiscal), el valor de l’usdefruit equival al valor actual de la sèrie de rendes que generarà el bé durant el període d’usdefruit: V_usdefruit = Σ renda_k / (1+i)^k (renda finita amb tipus i). El valor de la nua propietat és el valor actual del bé al moment de recuperació: V_nua = VR / (1+i)ⁿ, on VR és el valor del bé en extingir-se l’usdefruit. Esta valoració financera és la base del càlcul en els supòsits pràctics d’oposició que combinen matemàtica financera amb herències o transmissions.
5.3. Aplicacions
Planificació successòria: la donació de la nua propietat en vida (reservant-se l’usdefruit) reduïx la base imposable de l’impost de successions, ja que els hereus reben només la nua propietat quan el donant mor —en eixe moment consoliden la plena propietat sense pagament addicional d’impost, llevat de la nua propietat adquirida en el seu dia. És una tècnica habitual en la gestió patrimonial de famílies amb patrimoni immobiliari rellevant.
Venda d’usdefruit o de nua propietat: els productes d’«hipoteca inversa» i de «venda de nua propietat» són instruments financers comercialitzats per asseguradores i entitats financeres per a persones majors amb habitatge en propietat. El propietari ven la nua propietat a un tercer (asseguradora) i conserva l’usdefruit vitalici, i rep un capital o una renda vitalícia. És una forma de complementar la pensió sense abandonar l’habitatge.
Analogia amb bons: en els mercats financers, un bo amb cupó és anàleg a un bé amb usdefruit: el comprador del bo té dret als cupons (usdefruit periòdic dels fruits del capital) i al reembors del principal al venciment (consolidació de la plena propietat del capital). Els STRIPS (Separate Trading of Registered Interest and Principal of Securities) són, literalment, bons els cupons i el principal dels quals es negocien per separat —és a dir, la «nua propietat» del principal i l’«usdefruit» dels cupons es venen com a actius distints. El Tresor espanyol emet STRIPs sobre les seues obligacions a 10 i 15 anys, amb un mercat actiu a l’AIAF.
Exemple numèric integrador: bé de valor 200.000 €. Usdefruit temporal de 8 anys, renda anual estimada 8.000 €, taxa d’actualització 4 %. Valor financer de l’usdefruit: Va = 8.000 · [1 − (1,04)⁻⁸] / 0,04 = 8.000 · 6,7327 = 53.862 €. Valor de la nua propietat: 200.000 / (1,04)⁸ = 200.000 · 0,7307 = 146.138 €. Suma: 53.862 + 146.138 = 200.000 €. ✓ La valoració fiscal per la regla del 2 % seria: 2 % × 8 anys = 16 % de 200.000 = 32.000 € (valor fiscal, generalment inferior al financer).
STRIPs · analogia amb usdefruit / nua propietat
Separació de cupons i principal en actius negociables
Conclusió
Els préstecs i emprèstits són els instruments centrals del finançament extern a mitjà i llarg termini. La tesi central d’este tema és que tot instrument de deute —des de la hipoteca d’un particular fins a un bo sobirà— és matemàticament una renda financera (Tema 55) el cost efectiu de la qual és la seua TIR (YTM): el tipus que iguala els fluxos cobrats i pagats. La diferència entre sistemes d’amortització (francès, italià, americà) no altera l’import del capital prestat ni la taxa pactada, sinó únicament el perfil temporal de la càrrega d’interessos i la velocitat de devolució del principal.
El recorregut temàtic ha cobert cinc blocs. La classificació dels préstecs (garanties, termini, destinació, tipus d’interès, moneda) i els seus elements essencials (capital, tipus, termini, quota, quadre d’amortització). El sistema francès —quota constant, interès decreixent, amortització creixent en progressió geomètrica (1+i)— dominant a Espanya per a hipoteques (Llei 5/2019: mercat hipotecari = 47 % del PIB, més de 5 milions de llars). El sistema italià —amortització constant A = C/n, quotes decreixents— amb menor càrrega total d’interessos que el francès al mateix nivell de tipus. El sistema americà —només interessos + amortització total al venciment amb fons de reintegració— usat en bons i finançament estructurat. Els emprèstits (bons i obligacions): elements, YTM, tipologia (sobirà, corporatiu, convertible, cupó zero, green, CoCo, cèdula hipotecària). Els conceptes d’usdefruit i nua propietat en la seua dimensió financera i tributària.
Els lligams són múltiples: la quota del sistema francès és directament la fórmula de la renda constant pospagable del Tema 55 (c = C·i/[1 − (1+i)⁻ⁿ]); els emprèstits són l’instrument de finançament aliè a LP descrit al Tema 51; la YTM del bo és la TIR del Tema 49; l’escut fiscal dels interessos del préstec és l’escut fiscal del deute del Tema 50 i la base de Modigliani-Miller (1963) del Tema 54; la valoració de l’usdefruit temporal aplica directament la fórmula del valor actual de renda constant. La dinàmica de l’Euríbor 2022-2024 (de −0,5 % a +4,15 % i tornada a ~3 %) ha convertit els conceptes d’este tema en matèria d’actualitat crítica per a milions d’hipotecats espanyols.
La idea clau que l’opositor ha de retindre: en el sistema francès, la quota és constant però la composició interna varia: en els primers períodes es paga més interès (capital pendent alt) i menys amortització; al final, quasi tot és amortització. La relació preu-YTM dels bons és inversa: si els tipus de mercat pugen, el preu del bo baixa (i viceversa). YTM major que el cupó implica bo al descompte (P₀ menor que el VN); YTM menor que el cupó implica bo sobre la par (P₀ major que el VN).
- MURIOLA, J. i LAMOTHE, P. (2007): Manual de matemáticas financieras, Pirámide.
- NAVARRO, E. i MARTÍN, J.L. (2012): Manual de matemáticas financieras, McGraw-Hill.
- MASCAREÑAS, J. (2010): Gestión de carteras I: Selección de carteras, Universidad Complutense.
- FABOZZI, F.J. (2012): Bond Markets, Analysis, and Strategies, 8a ed., Pearson.
- BERK, J. i DEMARZO, P. (2020): Corporate Finance, 5a ed., Pearson.
- SUÁREZ SUÁREZ, A.S. (2014): Decisiones óptimas de inversión y financiación en la empresa, Pirámide.
- Codi Civil: arts. 1753-1757 (préstec), 467-522 (usdefruit), 534-614 (nua propietat).
- Reial Decret Legislatiu 1/2010 (LSC), arts. 401-410 (obligacions).
- Llei 16/2011, de contractes de crèdit al consum.
- Llei 5/2019, reguladora dels contractes de crèdit immobiliari.
- Reial Decret Legislatiu 1/1993 (ITP i AJD) i el seu Reglament.
Síntesi del tema
El one-pager de síntesi del tema, per a un repàs ràpid.
Eina inclosa en la subscripció.
Subscriu-te · 25 €/mes