Tema 55

En la capitalització composta, els interessos s’afigen al capital i generen nous interessos («interès sobre interès»). És la base de les operacions financeres a llarg termini:

Quan la capitalització es realitza «en tot moment», s’obté el límit continu, prenent m → ∞ en la fórmula de la TAE:

Cₙ = C₀ · e^i·n, on e ≈ 2,71828.

La capitalització contínua és el cas límit de la capitalització composta quan la freqüència de liquidació tendix a infinit. La demostració parteix de la fórmula (1 + i/m)^m·n i aplica la definició del nombre e: lím_m→∞ (1 + i/m)^m = eⁱ. Així, Cₙ = C₀ · e^i·n. La diferència entre capitalització composta anual i contínua és menuda per a tipus moderats: amb i = 5 % i n = 1, la composta dona 1,0500 i la contínua 1,0513, una diferència de 13 pb. Per a terminis llargs (n = 30), la composta dona 4,3219 i la contínua 4,4817 — una diferència apreciable.

Esta fórmula és la base dels models de valoració d’opcions: el model de Black-Scholes (1973) —la derivació del qual va valdre el Nobel d’Economia a Merton i Scholes (Nobel 1997)— assumix capitalització contínua i moviment brownià geomètric del preu del subjacent. Per a l’opositor, la rellevància pràctica és doble: entendre per què els models de derivats usen temps continu, i reconéixer la capitalització contínua com la fórmula límit unificadora de tots els sistemes discrets.

El TIN (Tipus d’Interès Nominal) és el tipus anunciat contractualment, sense considerar la freqüència de capitalització ni les comissions. Si la freqüència de liquidació és m vegades l’any, el tipus efectiu per període és i_m = TIN/m.

Préstec amb TIN = 6 % liquidat mensualment (m = 12): TAE = (1 + 0,06/12)¹² − 1 = 1,005¹² − 1 = 0,0617 = 6,17 %. La diferència de 17 pb respecte del TIN reflectix el cost de l’anatocisme mensual.

Amb comissió d’obertura de l’1 % sobre 10.000 €, el càlcul exacte s’obté resolent l’equació d’equivalència financera. El banc entrega 10.000 − 100 = 9.900 € nets (o cobra 100 € el dia 0). El prestatari torna quotes mensuals calculades sobre 10.000 €. La TAE és el tipus i que resol: 9.900 = Σ (quota / (1+i/12)^k) per a k = 1 a 60 (exemple a 5 anys). La TAE resultant és aproximadament el 6,56 % — 39 pb més que sense comissió, la qual cosa per a una hipoteca de 200.000 € a 30 anys suposa una diferència en el cost total de diversos milers d’euros.

En el context espanyol, el Banc d’Espanya monitora la TAE dels nous préstecs hipotecaris. Segons dades del BdE (2024), la TAE mitjana de les hipoteques a tipus variable firmades el 2023 va ser del 5,8-6,2 %, davant de l’1,3-1,8 % del 2021, reflectint íntegrament l’impacte de la pujada de l’Euríbor. La transparència de la TAE, exigida per la Llei 5/2019, permet comparar productes amb estructures de comissions molt distintes en un sol número.

Segons la quantia dels termes: (a) Constant — tots els termes iguals; és el cas del préstec hipotecari a tipus fix amb quotes mensuals constants, o d’una pensió de jubilació a tipus fix. (b) Variable — els termes diferixen; poden seguir una llei aritmètica (increment o decrement constant en euros: c, c+d, c+2d…) o geomètrica (increment o decrement percentual constant: c, c·q, c·q²…); les pensions revaloritzades amb l’IPC seguixen una progressió geomètrica amb q = 1 + inflació.

Segons la durada: (a) Temporal — durada finita, n períodes determinats; el préstec hipotecari a 30 anys és una renda temporal. (b) Perpètua — durada indefinida, n → ∞; les accions preferents sense venciment, les rendes vitalícies amb esperança de vida llarga i les pensions de l’Estat (si es modelen com a fluxos sense data d’extinció) es tracten com a perpètues en la valoració.

Segons el moment del pagament: (a) Prepagable (anticipada, a priori) — el pagament es fa a l’inici de cada període; exemple: el lloguer d’un habitatge (es paga el mes per avançat), les assegurances anuals i els contractes d’arrendament financer (leasing). (b) Pospagable (vençuda, a posteriori) — el pagament es fa al final del període; és el cas majoritari: préstecs, obligacions, cupons de bons, nòmines.

Segons l’inici: (a) Immediata — el primer terme coincidix amb el període següent a la data de valoració (t = 0 per a la pospagable, t = 0 per a la prepagable). (b) Diferida d períodes — el primer terme es produïx en t = d+1 (pospagable) o t = d (prepagable); el valor actual es calcula actualitzant el valor de la renda immediata d períodes addicionals: Va_diferida = Va_immediata / (1+i)^d. (c) Anticipada d períodes — el primer terme es produïx en t = −d+1; implica capitalitzar d períodes: Va_anticipada = Va_immediata · (1+i)^d. Les rendes diferides són freqüents en els supòsits de plans d’estalvi per a la jubilació: les aportacions comencen hui però la renda es percep d’ací a 20 anys.

Per a una renda prepagable, els imports es capitalitzen un període més. Relació amb pospagable:

V_a^pre = V_a^post · (1+i) ; V_f^pre = V_f^post · (1+i).

Variació aritmètica: termes c, c+d, c+2d, …, c+(n-1)d. Es resol descomponent en una renda constant de quantia c més una sèrie aritmètica pura de d, 2d, …, (n-1)d. El valor actual és: Va = c · a_n;i + d · (a_n;i − n·(1+i)⁻ⁿ) / i. Exemple numèric: pensió amb increment aritmètic anual de 200 €. Primer terme c = 1.000 €, d = 200 €, n = 10 anys, i = 4 %. a_10;4% = [1 − 1,04⁻¹⁰] / 0,04 = [1 − 0,6756] / 0,04 = 8,1109. Primer sumand: 1.000 × 8,1109 = 8.110,9 €. Segon: 200 × (8,1109 − 10 × 0,6756) / 0,04 = 200 × (8,1109 − 6,756) / 0,04 = 200 × 33,877 = 6.775,3 €. Va total ≈ 14.886 €. La interpretació és directa: el valor present d’una pensió creixent és significativament major que el d’una pensió constant del mateix primer terme, perquè els termes futurs (que són majors) perden relativament menys pel descompte temporal.

Variació geomètrica: termes c, c·q, c·q², …, c·q^n-1, on q = 1+g. Fórmula del valor actual quan i ≠ g:

Va = c · [1 − (q/(1+i))ⁿ] / (i − g).

Si i = g: Va = n·c/(1+i). Exemple numèric amb dades del 2024: pla de pensions amb aportació inicial de 3.000 € anuals, creixement del 3 % anual (g = 0,03, aproximant l’objectiu d’inflació del BCE), durant 25 anys, rendibilitat esperada del fons i = 5 %. Va = 3.000 · [1 − (1,03/1,05)²⁵] / (0,05 − 0,03) = 3.000 · [1 − 0,9810²⁵] / 0,02 = 3.000 · [1 − 0,6095] / 0,02 = 3.000 · 19,525 = 58.574 €. El valor final a l’any 25 s’obté capitalitzant: Vf = 58.574 · (1,05)²⁵ ≈ 198.900 € (valors arredonits a efectes pedagògics). Este resultat il·lustra la sensibilitat al tipus de rendibilitat del fons: si i puja del 5 % al 7 % (escenari optimista de renda variable a llarg termini), el valor final s’acosta als 350.000 €.

Aplicació paradigmàtica: valoració de l’empresa en el model DCF multietapa. El model estàndard de Damodaran (2011) a Applied Corporate Finance contempla tres etapes: una fase d’alt creixement (g₁ constant durant n₁ anys, renda geomètrica finita), una fase de transició i un valor terminal amb perpetuïtat creixent al ritme g estable (Gordon-Shapiro). La formulació matemàtica exacta del valor terminal connecta directament amb la fórmula de perpètua creixent Va = c/(i−g) del §4.3. Als supòsits d’oposició, l’examinador sovint proposa el càlcul del valor d’empresa per DCF amb este esquema de dues etapes, exigint dominar simultàniament la renda geomètrica finita i la perpetuïtat creixent.

Els plans de pensions privats són rendes financeres en dues etapes: una renda d’aportació (fase d’acumulació, durant la vida laboral) seguida d’una renda de prestació (fase de disposició, durant la jubilació). La fase d’acumulació genera el valor final Vf = c · [(1+i)ⁿ − 1] / i (renda pospagable); la fase de disposició consumix eixe capital com a renda temporal (Va = c · [1 − (1+i)⁻ⁿ] / i). Exemple detallat: aportació mensual de 200 € durant 30 anys a un 4 % anual (tipus mensual i = 0,04/12 = 0,003333). Vf = 200 · [(1,003333)³⁶⁰ − 1] / 0,003333 = 200 · [3,3102 − 1] / 0,003333 = 200 · 693,1 ≈ 138.620 €. En el context espanyol, les dades de la Direcció General d’Assegurances i Fons de Pensions (DGSFP, 2023) mostren que el patrimoni total en plans de pensions individuals a Espanya és d’aproximadament 87.000 M€, amb una rendibilitat mitjana anual ponderada del 3,5-4 % en els últims 10 anys — consistent amb l’exemple anterior. La reforma fiscal del 2021 va reduir la deducció màxima en l’IRPF per aportacions a plans de pensions individuals de 8.000 € a 1.500 € anuals, desplaçant l’incentiu cap als plans d’empresa (deducció màxima 8.500 €), la qual cosa té implicacions directes en la planificació financera personal.

Hipoteca de 200.000 € a 30 anys, tipus 3,5 % anual nominal (TIN), quotes mensuals, comissió d’obertura 1.000 €. Tipus mensual i = 0,035/12 = 0,002917. Quota = 200.000 · 0,002917 / (1 − 1,002917⁻³⁶⁰) = 200.000 · 0,002917 / 0,6497 ≈ 898 €/mes. Total pagat a 30 anys: 898 × 360 = 323.280 €. Total d’interessos: 323.280 − 200.000 = 123.280 €. TAE (amb comissió): requerix iterar l’equació d’equivalència amb capital net rebut = 200.000 − 1.000 = 199.000 €. Aproximadament TAE ≈ 3,61 %.

Este exemple posa en perspectiva la dinàmica de l’Euríbor 2022-2024: al gener del 2022, l’Euríbor a 12 mesos era del −0,49 %; a l’octubre del 2023 va arribar al màxim del 4,16 %; al maig del 2024 se situa entorn del 3,8 % amb expectatives de baixada. Per a una hipoteca variable de 200.000 € a 30 anys amb diferencial de +0,75 %, el tipus aplicat va passar d’un mínim històric del 0,26 % (gener del 2022) al 4,91 % (octubre del 2023), amb les quotes mensuals passant d’uns 640 €/mes a 1.062 €/mes — un increment de 422 €/mes o 5.064 €/any. Segons dades de l’INE i del BdE, més de 2 milions d’hipoteques espanyoles a tipus variable referenciades a l’Euríbor a 12 mesos han patit este ajust. La comprensió de la matemàtica financera d’este tema és, literalment, de rellevància cívica massiva.

Convé afegir l’anàlisi de sensibilitat al tipus d’interès: la quota mensual del sistema francès per a 200.000 € a 30 anys és: 640 € (i = 1 %), 898 € (i = 3,5 %), 1.073 € (i = 5 %), 1.199 € (i = 6 %), 1.330 € (i = 7 %). La relació és còncava creixent: cada punt addicional de tipus té major impacte sobre la quota des de nivells alts. Això explica per què les polítiques de tipus d’interès del BCE tenen un efecte desproporcionat sobre el sector hipotecari espanyol —amb major percentatge d’hipoteques variables que la mitjana europea— i connecta amb els continguts del Tema 48 (política monetària) i del Tema 51 (mercat de crèdit).