Supòsit 15
Enunciado
Una societat emet un emprèstit d’obligacions simples per finançar una ampliació industrial amb les següents característiques:
- Valor nominal: 1.000€ per títol
- Cupó anual: 5% (50€/any)
- Venciment: 5 anys (devolució del nominal en t = 5)
- Modalitat d’amortització: bullet (única al venciment)
El preu de mercat del bo s’ajusta al valor actual dels fluxos descomptats al tipus d’interés exigit pels inversors. Aquesta és la idea central de la teoria del valor dels bons (Macaulay, 1938; Fisher, 1930).
Es demana:
- Si el tipus d’interés de mercat per a risc equivalent és i = 4%, calcula el preu de l’obligació.
- Si i puja al 6% (per enduriment de la política monetària del BCE), calcula el nou preu.
- Calcula la duració de Macaulay (venciment mitjà ponderat dels fluxos) en l’escenari inicial.
- Explica la relació inversa preu-tipus d’interés i el concepte de risc de tipus d’interés.
Mostrar solución
El preu teòric d’un bo és la suma del valor actual dels seus fluxos contractuals (cupons + nominal final), descomptats al tipus d’interés exigit pel mercat per a risc equivalent. És una aplicació directa del principi de no arbitratge i de la fórmula de Fisher (1930) sobre el valor temporal dels diners.
Per a i = 4%, els fluxos a descomptar són: 50€ (anys 1-4) i 1.050€ (any 5, cupó + nominal).
El bo cotitza al 104,45% del nominal: sobre la par. Lògic: ofereix un cupó (5%) superior al tipus exigit pel mercat (4%), per la qual cosa l’inversor està disposat a pagar una prima.
P (i = 4%) = 1.044,52€ — sobre la par
Mateix càlcul amb i = 6%. Quan el tipus de mercat supera el cupó, el bo s’ha d’abaratir perquè la seua rendibilitat efectiva (TIR) iguale el 6%; en cas contrari, cap inversor el compraria. La caiguda de preu és l’altra cara de l’augment de tipus exigits.
P (i = 6%) = 957,88€ — sota la par (95,79%)
Variació de preu entre tots dos escenaris: 957,88 − 1.044,52 = −86,64€ (−8,29%) per una pujada de 200 pb. Açò és el risc de tipus d’interés del bo.
La duració de Macaulay (1938) és el termini mitjà ponderat de recuperació del capital invertit, on els pesos són el valor actual de cada flux. Es mesura en anys i és sempre menor o igual que el venciment (igual només en bons cupó zero).
Calculem el numerador acumulant t · VA(FCₜ) amb els valors actuals obtinguts en a):
D ≈ 4,56 anys
La duració de Macaulay (1938) mesura el termini mitjà durant el qual l’inversor recupera la seua inversió en termes de valor actual. És també una mesura de la sensibilitat del preu del bo davant canvis en i: ΔP/P ≈ −D · Δi/(1+i), expressió coneguda com a duració modificada. Per al nostre bo: D_mod = 4,557/1,04 = 4,38; davant una pujada de 100 pb, es prediu una caiguda del preu del 4,38%. El valor real al passar de 4% a 5% és −4,33%, molt pròxim a l’estimat per l’aproximació lineal.
La relació entre i i preu del bo és inversa i matemàticament exacta: el preu és la suma descomptada de fluxos fixos. Si puja el tipus de descompte, baixa el valor present. Tres regles pràctiques (regla del cupó vs. mercat):
• Cupó major que i → preu sobre la par (el bo ofereix més que el mercat demana).
• Cupó menor que i → preu sota la par.
• Cupó igual a i → preu = nominal.
Risc de tipus d’interés: variació del preu del bo davant moviments de i. És proporcional a la duració modificada i, per tant, major per a bons llargs i de cupó baix. És rellevant per a fons d’inversió, plans de pensions i immobilitzacions bancàries. Cas paradigmàtic recent: Silicon Valley Bank (SVB, març 2023), les pèrdues latents del qual en cartera de bons a tipus fix, materialitzades després de les pujades agressives de la Fed, van desencadenar la crisi de confiança i la fallida. La gestió d’aquest risc es fa mitjançant duration matching i immunization (Redington, 1952).