Supòsit 13
Enunciado
Un treballador autònom planifica la seua jubilació i contracta un pla de pensions que garanteix un flux anual constant de 3.000€ durant 10 anys, amb una rendibilitat tècnica del 5% anual.
Les rendes constants són una de les eines més utilitzades en planificació financera personal i en valoració d’actius (plans de pensions, lloguers, dividends preferents). Distingim entre postpagables (cobrament/pagament al final de cada període, l’habitual en hipoteques) i prepagables (a l’inici, típic en lloguers).
Es demana:
- Calcula el valor actual (VA) i el valor final (VF) de la renda com a postpagable.
- Calcula el VA i VF si fos prepagable (anticipada).
- Si fos una renda perpètua postpagable de 3.000€/any, calcula el seu VA i compara’l amb la renda finita.
- Quin preu màxim pagaria hui un inversor per adquirir aquesta renda postpagable?
Mostrar solución
Una renda postpagable, vençuda o ordinary annuity és una successió de fluxos iguals que es fan efectius al final de cada període. És la convenció per defecte a Espanya (préstecs hipotecaris, plans de pensions, dividends). El valor actual s’obté descomptant geomètricament cadascun dels n fluxos al tipus i; la fórmula compacta és la suma de la progressió geomètrica (Suárez Suárez, Decisiones óptimas de inversión y financiación):
Substituïm a = 3.000€, i = 0,05, n = 10. Calculem primer el factor d’actualització, també anomenat annuity factor:
Per al valor final apliquem la fórmula anàloga (factor de capitalització d’una renda):
VA = 23.165,20€ | VF = 37.733,68€
Verificació de coherència financera (VF ha de ser igual a VA capitalitzat n anys):
Una renda prepagable o anticipada (annuity-due) avança cada flux un període respecte a la postpagable: el primer cobrament es produeix en t = 0 en lloc de t = 1. És típica en lloguers i lísings. Com cada flux està disponible un any abans, guanya un període de capitalització; en valor actual i valor final, el factor multiplicador és (1 + i):
VA’ = 24.323,46€ | VF’ = 39.620,36€
La renda prepagable val exactament un 5% més (factor 1+i). És matemàticament coherent: cada flux es cobra/paga un any abans, per la qual cosa cadascun val (1+i) vegades més en valor actual. Aquesta diferència és rellevant quan es comparen productes comercials (plans de pensions que abonen a l’inici de l’any vs al final) o quan es negocia el moment de pagament en un contracte d’arrendament.
Quan n → ∞, el factor d’actualització [1 − (1+i)⁻ⁿ]/i tendeix a 1/i, i s’obté la fórmula clàssica de la renda perpètua, base del model de valoració de Gordon (The Investment, Financing, and Valuation of the Corporation, 1962):
VA perpètua = 60.000€
Comparació amb la renda finita: 23.165,20 / 60.000 = 38,6%. És a dir, els 10 primers pagaments aporten menys del 39% del valor dels infinits pagaments.
La renda perpètua val 60.000€, però la renda a 10 anys només 23.165€ (38,6% de la perpètua). Dit a l’inrevés: els fluxos posteriors a l’any 10 valen 36.834,80€, el 61,4% de la perpètua, de manera que la major part del valor està en la cua i no en els deu primers pagaments. Fins i tot el que arriba a partir de l’any 31 val encara 60.000/1,05³⁰ = 13.883€, el 23,1% del total. Açò il·lustra la potència del descompte exponencial en horitzons llargs. La mateixa mecànica sustenta la valoració de Gordon-Shapiro (1956) d’empreses amb dividend creixent: P = D₁ / (k − g), peça fonamental de l’anàlisi fonamental borsària.
Per arbitratge i cost d’oportunitat: si l’inversor té una alternativa de mercat al 5% per a risc equivalent, el preu màxim que pagarà per la renda és el VA descomptat a aqueix 5%. Pagar més implicaria una TIR efectiva inferior al 5% i, per tant, una opció dominada per l’alternativa de mercat.
Preu màxim = 23.165,20€
Aquest preu coincideix amb el principi de no arbitratge de Modigliani-Miller (1958): el valor d’un actiu és la suma descomptada dels seus fluxos al tipus del seu cost d’oportunitat. Si el mercat cotitza la renda per davall de 23.165,20€, l’inversor obté rendibilitat extraordinària; si ho fa per damunt, hauria de rebutjar-la i conservar l’alternativa al 5%.
supuesto-progress
Crea compte gratisResolució en PDF
Cal un correu per accedir-hi. Sense contrasenyes, sense cost. T'enviem un enllaç màgic.