Supòsit 13
Enunciado
Un treballador autònom planifica la seua jubilació i contracta un pla de pensions que garanteix un flux anual constant de 3.000€ durant 10 anys, amb una rendibilitat tècnica del 5% anual.
Les rendes constants són una de les eines més utilitzades en planificació financera personal i en valoració d’actius (plans de pensions, lloguers, dividends preferents). Distingim entre postpagables (cobrament/pagament al final de cada període, l’habitual en hipoteques) i prepagables (a l’inici, típic en lloguers).
Es demana:
- Calcula el valor actual (VA) i el valor final (VF) de la renda com a postpagable.
- Calcula el VA i VF si fos prepagable (anticipada).
- Si fos una renda perpètua postpagable de 3.000€/any, calcula el seu VA i compara’l amb la renda finita.
- Quin preu màxim pagaria hui un inversor per adquirir aquesta renda postpagable?
Mostrar solución
Una renda postpagable, vençuda o ordinary annuity és una successió de fluxos iguals que es fan efectius al final de cada període. És la convenció per defecte a Espanya (préstecs hipotecaris, plans de pensions, dividends). El valor actual s’obté descomptant geomètricament cadascun dels n fluxos al tipus i; la fórmula compacta és la suma de la progressió geomètrica (Suárez Suárez, Decisiones óptimas de inversión y financiación):
Substituïm a = 3.000€, i = 0,05, n = 10. Calculem primer el factor d’actualització, també anomenat annuity factor:
Per al valor final apliquem la fórmula anàloga (factor de capitalització d’una renda):
VA = 23.165,20€ | VF = 37.733,68€
Verificació de coherència financera (VF ha de ser igual a VA capitalitzat n anys):
Una renda prepagable o anticipada (annuity-due) avança cada flux un període respecte a la postpagable: el primer cobrament es produeix en t = 0 en lloc de t = 1. És típica en lloguers i lísings. Com cada flux està disponible un any abans, guanya un període de capitalització; en valor actual i valor final, el factor multiplicador és (1 + i):
VA’ = 24.323,46€ | VF’ = 39.620,36€
La renda prepagable val exactament un 5% més (factor 1+i). És matemàticament coherent: cada flux es cobra/paga un any abans, per la qual cosa cadascun val (1+i) vegades més en valor actual. Aquesta diferència és rellevant quan es comparen productes comercials (plans de pensions que abonen a l’inici de l’any vs al final) o quan es negocia el moment de pagament en un contracte d’arrendament.
Quan n → ∞, el factor d’actualització [1 − (1+i)⁻ⁿ]/i tendeix a 1/i, i s’obté la fórmula clàssica de la renda perpètua, base del model de valoració de Gordon (The Investment, Financing, and Valuation of the Corporation, 1962):
VA perpètua = 60.000€
Comparació amb la renda finita: 23.165,20 / 60.000 = 38,6%. És a dir, els 10 primers pagaments aporten menys del 39% del valor dels infinits pagaments.
La renda perpètua val 60.000€, però la renda a 10 anys només 23.165€ (38,6% de la perpètua). El motiu: els fluxos descomptats a partir de l’any 11 contribueixen relativament poc a un tipus del 5%. Els primers 10 anys aporten ja el 38,6% del valor total perpetu, i a partir de l’any 30 la contribució marginal de cada nou flux és pràcticament negligible. Açò il·lustra la potència del descompte exponencial en horitzons llargs. La mateixa mecànica sustenta la valoració de Gordon-Shapiro (1956) d’empreses amb dividend creixent: P = D₁ / (k − g), peça fonamental de l’anàlisi fonamental borsària.
Per arbitratge i cost d’oportunitat: si l’inversor té una alternativa de mercat al 5% per a risc equivalent, el preu màxim que pagarà per la renda és el VA descomptat a aqueix 5%. Pagar més implicaria una TIR efectiva inferior al 5% i, per tant, una opció dominada per l’alternativa de mercat.
Preu màxim = 23.165,20€
Aquest preu coincideix amb el principi de no arbitratge de Modigliani-Miller (1958): el valor d’un actiu és la suma descomptada dels seus fluxos al tipus del seu cost d’oportunitat. Si el mercat cotitza la renda per davall de 23.165,20€, l’inversor obté rendibilitat extraordinària; si ho fa per damunt, hauria de rebutjar-la i conservar l’alternativa al 5%.