Supòsit 13
Enunciado
Un treballador autònom planifica la seua jubilació i contracta un pla de pensions que garanteix un flux anual constant de 3.000€ durant 10 anys, amb una rendibilitat tècnica del 5% anual.
Les rendes constants són una de les eines més utilitzades en planificació financera personal i en valoració d’actius (plans de pensions, lloguers, dividends preferents). Distingim entre postpagables (cobrament/pagament al final de cada període, l’habitual en hipoteques) i prepagables (a l’inici, típic en lloguers).
Es demana:
- Calcula el valor actual (VA) i el valor final (VF) de la renda com a postpagable.
- Calcula el VA i VF si fora prepagable (anticipada).
- Si fora una renda perpètua postpagable de 3.000€/any, calcula el seu VA i compara’l amb la renda finita.
- Quin preu màxim pagaria avui un inversor per adquirir aquesta renda postpagable?
Mostrar solución
VA = 23.165,20€ | VF = 37.733,68€
Verificació: VF = VA · (1+i)ⁿ → 23.165,20 · 1,6289 = 37.733,68 ✓
Una renda prepagable avança cada pagament un període respecte a la postpagable. Per a igual a, n i i:
VA’ = 24.323,46€ | VF’ = 39.620,36€
La renda prepagable val exactament un 5% més (factor 1+i). És matemàticament coherent: cada flux es cobra/paga un any abans, per la qual cosa cada un val (1+i) vegades més en valor actual.
VA perpètua = 60.000€
La renda perpètua val 60.000€, però la renda a 10 anys només 23.165€ (38,6% de la perpètua). El motiu: els fluxos descomptats a partir de l’any 11 contribueixen relativament poc. Els primers 10 anys aporten el 38,6% del valor total perpetu, cosa que il·lustra la potència del descompte exponencial en horitzons llargs.
Aquesta mateixa fórmula (a/i) sustenta la valoració per Gordon-Shapiro d’empreses amb dividend creixent: P = D₁ / (k − g).
Un inversor racional pagaria com a màxim el valor actual al tipus del seu cost d’oportunitat (5%): 23.165,20€. Si pagara més, la TIR efectiva cauria per davall del 5% i una altra inversió alternativa al 5% seria preferible.
Preu màxim = 23.165,20€